Решение: Суммы из единиц
На доске написано $5$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано $10$ единиц, то можно получить сумму $136 = 111 + 11 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1$.
а) Можно ли получить сумму $113$, если написано $5$ единиц? б) Можно ли получить сумму $114$, если написано $6$ единиц? в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если написано $10$ единиц?
Решение по шагам
5 шаговКаждое слагаемое получается из подряд идущих единиц: группа из одной единицы даёт $1$, из двух — $11$, из трёх — $111$, из четырёх — $1111$.
В пункте а) сумма $113$ представляется в виде $111 + 1 + 1$. Всего использовано $3 + 1 + 1 = 5$ единиц, поэтому такую сумму получить можно.
В пункте б) сумма $114$ представляется в виде $111 + 1 + 1 + 1$. Всего использовано $3 + 1 + 1 + 1 = 6$ единиц, поэтому такую сумму получить можно.
В пункте в) сумма должна быть четырёхзначной. Чтобы получить наибольшее число, выгодно использовать максимально длинные группы, но сумма не должна превысить $9999$. Две группы по четыре единицы дают $1111 + 1111$, а оставшиеся две единицы дают $1 + 1$.
Получаем сумму $1111 + 1111 + 1 + 1 = 2224$. Три группы по четыре единицы использовать нельзя, так как для них потребовалось бы $12$ единиц.
а) Да: $113=111+1+1$. б) Да: $114=111+1+1+1$. в) Наибольшая четырёхзначная сумма равна $2224$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать общее количество написанных единиц.
Считать, что знак «+» можно поставить внутри группы единиц.
В пункте в) использовать три слагаемых $1111$, хотя для этого нужно $12$ единиц.