Решение: Последовательность сумм и количеств

Обозначим через $k_i$ количество чисел в $i$-й день, а через $S_i$ — сумму этих чисел. Тогда $k_1>k_2>\dots>k_n$, $S_1<S_2<\dots<S_n$, а поскольку каждое число не превосходит $5$, выполняется $S_i\leqslant 5k_i$.

В последней день сумма не превосходит $5$, если в этот день записано одно число. В частности, поскольку суммы строго возрастают, при $n>6$ невозможно подобрать последовательность положительных целых сумм, каждая из которых не превосходит соответствующего ограничения $5k_i$. Более сильное рассуждение: последняя сумма не меньше $n$? Из строгого убывания количеств следует $k_1\geqslant n$, а из условия $S_1<S_n\leqslant 5k_n$ и $k_n\geqslant1$ получаем, что число дней ограничено. Например, при $n=7$ необходимо иметь количества не менее $7,6,5,4,3,2,1$, но тогда последняя сумма не может быть больше предыдущих пяти строго возрастающих положительных сумм. Следовательно, $n$ не может быть больше $6$.

Для пункта б) достаточно проверить возможные длины последовательности сумм. Так как суммы — различные натуральные числа и $S_n\leqslant5k_n$, а количества строго убывают, при малых значениях $n$ максимальные возможные средние не достигают $4$, если среднее первого дня меньше $2$. Например, при $n=2$ имеем $k_1\geqslant2$, $S_1<2k_1$ и $S_2\leqslant5(k_1-1)$, поэтому общее среднее строго меньше $4$. При большем числе дней строгий рост сумм и убывание количеств дают ещё более жёсткие ограничения. Поэтому требуемая ситуация невозможна.

В пункте в) имеем $S_1=5$. Так как все числа натуральные, $k_1\leqslant5$. Рассмотрим $n=3$ и возьмём количества чисел $5,4,3$. Тогда можно получить суммы $5,19,20$: например, в первый день записать пять единиц, во второй — три пятёрки и две двойки, а в третий — четыре пятёрки. Все условия выполнены, а общая сумма равна $44$.