Решение: Числа с ограниченными произведениями
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.
Решение по шагам
5 шаговДля пункта а) приведём пример пяти чисел: $6, 8, 9, 10, 11$. Минимальное произведение равно $6\cdot 8=48>45$, а максимальное — $10\cdot 11=110<120$. Следовательно, пять чисел на доске быть могут.
$$45<6\cdot 8\leq x_ix_j\leq 10\cdot 11=110<120$$Для пункта б) пусть на доске записаны шесть чисел $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6$. Так как $a_2\geq a_1+1$, из условия $a_1a_2>45$ следует $a_1(a_1+1)>45$, поэтому $a_1\geq 7$. Кроме того, $a_6\geq a_1+5$, а из условия $a_1a_6<120$ следует $a_1(a_1+5)<120$, поэтому $a_1\leq 9$.
$$a_1(a_1+1)>45,\qquad a_1(a_1+5)<120,\qquad 7\leq a_1\leq 9$$Два наибольших числа удовлетворяют оценкам $a_5\geq a_1+4$ и $a_6\geq a_1+5$. Поэтому $a_5a_6\geq(a_1+4)(a_1+5)$. При $a_1\geq7$ это произведение не меньше $11\cdot12=132>120$, что противоречит условию. Значит, шести чисел быть не может.
$$a_5a_6\geq(a_1+4)(a_1+5)\geq 11\cdot12=132>120$$Для пункта в) рассмотрим четыре числа $a<b<c<d$. Если $a\leq5$, то из условия $ab>45$ получаются минимальные возможные суммы не меньше: при $a=5$ — $5+10+11+12=38$; при меньших значениях $a$ сумма также не меньше 38. Если $a\geq7$, то сумма не меньше $7+8+9+10=34$.
$$a\leq5\Rightarrow a+b+c+d\geq38,\qquad a\geq7\Rightarrow a+b+c+d\geq34$$Остаётся случай $a=6$. Тогда $b\geq8$, поскольку $6b>45$. Поэтому сумма не меньше $6+8+9+10=33$. Этот набор подходит: произведения любых двух чисел из него лежат от $48$ до $90$, то есть больше 45 и меньше 120.
$$6+8+9+10=33,\qquad 45<6\cdot8\leq x_ix_j\leq9\cdot10=90<120$$а) Да, например $6,8,9,10,11$. б) Нет. в) Наименьшая сумма равна $33$; она достигается на наборе $6,8,9,10$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Проверяют только произведение наименьшего и наибольшего чисел, забывая о произведении двух наибольших.
Для доказательства существования пяти чисел приводят набор, в котором максимальное произведение не меньше 120.
Называют сумму 33, но не доказывают, что меньшая сумма невозможна.