Решение: Средние баллы в школах
В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе № 2 средний балл равнялся 42.
Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%.
Решение по шагам
7 шаговПусть в школе № 2 первоначально было $n$ учащихся, а перешедший учащийся набрал $x$ баллов. После перехода средний балл в школе № 2 уменьшился на 10%, поэтому стал равен $42 \cdot 0{,}9=37{,}8$.
$$42n+x=37{,}8(n+1)$$Выразим количество баллов перешедшего учащегося:
$$x=37{,}8-4{,}2n=\frac{21(9-n)}{5}$$Так как $x$ — натуральное число, $n$ должно быть кратно 5 по модулю 5: $n\equiv4\pmod 5$. Кроме того, $x>0$, поэтому $n<9$. С учётом условия $n\ge2$ получаем единственную возможность $n=4$, тогда $x=21$.
$$n=4,\qquad x=21$$Пусть в школе № 1 первоначально было $m$ учащихся, а средний балл равнялся целому числу $A$. После ухода одного учащегося средний балл стал равен $0{,}9A$. Поэтому:
$$mA-21=0{,}9A(m-1)$$Преобразуем уравнение:
$$10mA-210=9A(m-1),\qquad A(m+9)=210$$Число $0{,}9A$ должно быть целым, значит $A$ кратно 10. Из разложения $A(m+9)=210$ при $m\ge2$ подходит только $A=10$, $m+9=21$. Следовательно, $m=12$.
$$A=10,\qquad m=12$$В школе № 2 было 4 учащихся, набравших в сумме $4\cdot42=168$ баллов. Каждый из них набрал больше 21 балла. Чтобы максимизировать результат одного учащегося, трое остальных должны набрать минимально возможные 22 балла.
$$168-3\cdot22=102$$а) 4 учащихся; б) 102 балла; в) 12 учащихся.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют средний балл 42 после перехода, не уменьшая его на 10%.
Забывают, что после перехода число учащихся в школе № 2 равно $n+1$.
При поиске максимального результата берут для остальных учащихся по 21 баллу, хотя их баллы должны быть строго больше 21.
Не проверяют, что новые средние баллы должны оставаться целыми числами.