Числа на круге и делимость
По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3.
а) Может ли $N$ быть равным 360?
б) Может ли $N$ быть равным 149?
в) Найдите наибольшее значение $N$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| По кругу расставлено различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3. а) Может ли быть равным 360? б) Может ли быть равным 149? в) Найдите наибольшее значение
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите остатки чисел при делении на 3 и обозначьте их через $a_i$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из условий для двух соседних сумм четырёх чисел вычтите одно равенство из другого. Получится $a_i \equiv a_{i+4} \pmod 3$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Каждый остаток в периоде из четырёх чисел должен быть ненулевым, а в периоде должно быть ровно два остатка $1$ и два остатка $2$. Чисел с остатками $1$ и $2$ среди чисел от 1 до 400 соответственно $134$ и $133$.