Решение: Числа и кратность 14
На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5120.
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 230?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?
Решение по шагам
9 шагова) Если среди чисел есть 230, то остальные 99 различных натуральных чисел имеют сумму не менее суммы первых 99 натуральных чисел.
$$1+2+\dots+99=\frac{99\cdot100}{2}=4950$$Тогда общая сумма не менее $4950+230=5180$, что больше 5120. Поэтому число 230 на доске находиться не может.
б) Если числа 14 нет, то наименьший набор из 100 различных натуральных чисел получается из чисел от 1 до 101 удалением числа 14.
$$1+2+\dots+101-14=\frac{101\cdot102}{2}-14=5137$$Эта сумма больше 5120, поэтому набор из 100 чисел без числа 14 невозможен.
в) Найдём нижнюю границу для случая, когда на доске ровно три числа, кратных 14. Берём три наименьших числа, кратных 14: $14$, $28$, $42$, и 97 наименьших чисел, не кратных 14. Это числа от 1 до 104, из которых исключены $14,28,42,56,70,84,98$.
$$1+2+\dots+104-(14+28+42+56+70+84+98)+14+28+42=5460-392+84=5152$$Минимальная сумма при трёх числах, кратных 14, равна 5152 и превышает 5120. Следовательно, трёх таких чисел недостаточно.
Рассмотрим четыре числа, кратных 14: $14,28,42,56$. Возьмём также 96 наименьших чисел, не кратных 14. Это числа от 1 до 103 без чисел $14,28,42,56,70,84,98$.
$$1+2+\dots+103-(14+28+42+56+70+84+98)+14+28+42+56=5356-392+140=5104$$Получен набор из 100 различных чисел с суммой 5104 и четырьмя числами, кратными 14. Чтобы получить сумму 5120, заменим число 103 на 119. Число 119 не кратно 14, а сумма увеличится на $119-103=16$.
Таким образом, набор существует: он состоит из чисел от 1 до 103, из которых удалены $70,84,98$, а также из числа 119. В нём ровно четыре числа, кратных 14, а сумма равна 5120.
а) Нет. б) Нет. в) Наименьшее количество чисел, кратных 14, равно 4.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Для пункта а) забывают прибавить число 230 к минимальной сумме остальных 99 чисел.
В пункте б) используют числа от 1 до 100, не учитывая, что после удаления числа 14 нужно добавить число 101.
При подсчёте чисел, не кратных 14, неверно считают количество кратных 14 среди первых 100 чисел.
Доказывают только нижнюю границу в пункте в), но не приводят пример набора из 100 чисел с четырьмя числами, кратными 14.