Решение: Средние баллы после перевода
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Решение по шагам
11 шаговПусть в школе №1 было $n$ учащихся, а в школе №2 — $9-n$ учащихся, где $2 \leq n \leq 7$. Пусть первоначальные средние баллы равны соответственно $a$ и $b$, а балл переведённого учащегося равен $x$.
Для пунктов б) и в) средние баллы в обеих школах уменьшились на 10%. После перевода в школе №1 стало $n-1$ учащихся, поэтому
$$\frac{na-x}{n-1}=\frac{9a}{10}$$Для школы №2 после перевода стало $10-n$ учащихся, поэтому
$$\frac{(9-n)b+x}{10-n}=\frac{9b}{10}$$Из первого равенства получаем выражение для балла переведённого учащегося:
$$x=\frac{a(n+9)}{10}$$Из второго равенства получаем:
$$x=\frac{bn}{10}$$Следовательно, при уменьшении обоих средних баллов на 10% выполняется соотношение
$$an+9a=bn, \qquad b=\frac{a(n+9)}{n}$$а) Если средний балл в школе №1 уменьшился в 10 раз, то при $n=2$, $a=10$ и $x=19$ это возможно. Например, в школе №1 могли быть результаты $19$ и $1$, то есть средний балл был равен $10$, а после перевода учащегося с результатом $19$ остался один учащийся со средним баллом $1$. В школе №2 можно взять 7 учащихся со средним баллом $1$, тогда после добавления учащегося с результатом $19$ средний балл станет $\frac{7+19}{8}=\frac{13}{4}$.
б) Если $b=7$, то из соотношения для средних баллов получаем
$$a=\frac{7n}{n+9}$$Проверка всех возможных значений $n=2,3,4,5,6,7$ показывает, что значение $a$ нигде не является целым числом. Следовательно, первоначальный средний балл в школе №2 не мог равняться $7$.
в) Переберём возможные значения $n$ и потребуем, чтобы $a$, $b$ и $x$ были натуральными числами. Получаем минимальные возможные значения $b$: при $n=2$ — $b=10$; при $n=3$ — $b=20$; при $n=4$ — $b=65$; при $n=5$ — $b=14$; при $n=6$ — $b=10$; при $n=7$ — $b=80$.
Значение $b=10$ действительно достигается. Например, при $n=2$, $a=2$, $b=10$, $x=2$: в школе №1 результаты учащихся могут быть равны $2$ и $2$, а в школе №2 — семь результатов с суммой $70$. После перевода одного учащегося средние баллы станут равны $1{,}8$ и $9$, то есть уменьшатся на 10%.
а) Да. б) Нет. в) Наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2 равно $10$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать, что после перевода число учащихся в школе №2 остаётся равным $9-n$.
Забывать, что баллы всех учащихся и средние баллы должны быть натуральными или целыми в соответствии с условием.
В пункте а) доказывать только формальную возможность, не приводя конкретный пример распределения баллов.
При переборе в пункте в) проверять только целочисленность $a$ и $b$, но не проверять, что балл переведённого учащегося $x$ является натуральным.