Шешімі: Средние баллы после перевода

Пусть в школе №1 было $n$ учащихся, а в школе №2 — $9-n$ учащихся, где $2 \leq n \leq 7$. Пусть первоначальные средние баллы равны соответственно $a$ и $b$, а балл переведённого учащегося равен $x$.

Для пунктов б) и в) средние баллы в обеих школах уменьшились на 10%. После перевода в школе №1 стало $n-1$ учащихся, поэтому

Для школы №2 после перевода стало $10-n$ учащихся, поэтому

Из первого равенства получаем выражение для балл переведённого учащегося:

Из второго равенства получаем:

Следовательно, при уменьшении обоих средних балл на 10% выполняется соотношение

а) Если средний балл в школе №1 уменьшился в 10 раз, то при $n=2$, $a=10$ и $x=19$ это возможно. Например, в школе №1 могли быть результаты $19$ и $1$, то есть средний балл был равен $10$, а после перевода учащегося с результатом $19$ остался один учащийся со средним баллом $1$. В школе №2 можно взять 7 учащихся со средним баллом $1$, тогда после добавления учащегося с результатом $19$ средний балл станет $\frac{7+19}{8}=\frac{13}{4}$.

б) Если $b=7$, то из соотношения для средних балл получаем

Проверка всех возможных значений $n=2,3,4,5,6,7$ показывает, что значение $a$ нигде не является целым числом. Следовательно, первоначальный средний балл в школе №2 не мог равняться $7$.

в) Переберём возможные значения $n$ и потребуем, чтобы $a$, $b$ и $x$ были натуральными числами. Получаем минимальные возможные значения $b$: при $n=2$ — $b=10$; при $n=3$ — $b=20$; при $n=4$ — $b=65$; при $n=5$ — $b=14$; при $n=6$ — $b=10$; при $n=7$ — $b=80$.