Решение: Числа с ограниченными произведениями
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140.
Решение по шагам
5 шаговДля пункта а) предъявим пример пяти различных натуральных чисел: $7,9,10,11,12$. Минимальное произведение двух чисел равно $7 \cdot 9 = 63 > 60$, а максимальное — $11 \cdot 12 = 132 < 140$. Следовательно, любые два произведения лежат между 60 и 140.
$$60 < 63 \leq xy \leq 132 < 140$$Пусть для пункта б) на доске записаны шесть чисел $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6$. Если $x_1 \leq 6$, то из условия $x_1x_2 > 60$ следует $x_2 \geq 11$. Поэтому $x_5 \geq 14$ и $x_6 \geq 15$, откуда $x_5x_6 \geq 210 > 140$, что невозможно.
$$x_1 \leq 6 \Rightarrow x_2 \geq 11 \Rightarrow x_5x_6 \geq 14 \cdot 15 > 140$$Если $x_1 \geq 7$, то из различия чисел получаем $x_5 \geq 11$ и $x_6 \geq 12$ при грубой оценке; точнее, если $x_1=7$, то $x_2\geq 9$, поэтому $x_5\geq 12$ и $x_6\geq 13$. При $x_1\geq 8$ тем более $x_5\geq 12$ и $x_6\geq 13$. В обоих случаях $x_5x_6\geq 12\cdot13=156>140$, что невозможно.
$$x_5x_6 \geq 12 \cdot 13 = 156 > 140$$Для пункта в) пусть четыре числа расположены по возрастанию: $a<b<c<d$. Из условия $ab>60$. Если $a\leq 6$, то $b\geq 11$, и сумма не меньше $6+11+12+13=42$. Если $a=7$, то $b\geq 9$, поэтому сумма не меньше $7+9+10+11=37$. При $a\geq 8$ сумма не меньше $8+9+10+11=38$. Значит, сумма не может быть меньше 37.
$$a\leq 6 \Rightarrow a+b+c+d\geq42;\quad a=7 \Rightarrow a+b+c+d\geq37;\quad a\geq8 \Rightarrow a+b+c+d\geq38$$Набор $7,9,10,11$ удовлетворяет условию: $7\cdot9=63>60$, а максимальное произведение $10\cdot11=110<140$. Его сумма равна 37, поэтому найденная нижняя граница достигается.
$$7+9+10+11=37$$а) Да, например $7,9,10,11,12$. б) Нет. в) Наименьшая сумма равна $37$; её достигает набор $7,9,10,11$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Проверяют только произведение соседних чисел, не обосновывая, почему достаточно рассматривать минимальное и максимальное произведения.
Для шести чисел приводят пример, не проверяя произведение двух наибольших.
Находят набор с суммой 37, но не доказывают, что меньшая сумма невозможна.