Решение: Перераспределение средних баллов
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Решение по шагам
10 шаговОбозначим через $n$ число учащихся в школе №1, через $m$ — число учащихся в школе №2. Тогда $n+m=51$, $n,m\geq 2$. Пусть первоначальные средние баллы равны соответственно $A$ и $B$, а балл перешедшего учащегося равен $x$.
Для пункта а) если средний балл в школе №1 увеличился в 2 раза, то
$$\frac{nA-x}{n-1}=2A,\quad x=A(2-n)$$Так как $n\geq 2$ и $A>0$, величина $A(2-n)$ не является положительной: при $n=2$ она равна нулю, а при $n>2$ отрицательна. Балл учащегося натуральный, поэтому такой переход невозможен.
Для пунктов б) и в) при увеличении средних баллов на $10\%$ получаем
$$\frac{nA-x}{n-1}=\frac{11A}{10},\quad \frac{mB+x}{m+1}=\frac{11B}{10}$$После преобразования этих равенств:
$$x=\frac{A(11-n)}{10}=\frac{B(m+11)}{10}$$Поскольку $m=51-n$, имеем
$$A(11-n)=B(62-n),\quad x=\frac{B(62-n)}{10}$$Для пункта б) положим $B=1$. Тогда $x=(62-n)/10$ должен быть целым. При $2\leq n\leq 10$ это возможно только при $n=2$. Но тогда из равенства $A(11-n)=B(62-n)$ получаем $9A=60$, что невозможно для целого $A$. Следовательно, первоначальный средний балл $B=1$ невозможен.
Для пункта в) положим $d=11-n$. Тогда $d$ принимает значения от $1$ до $9$, а
$$A=\frac{B(51+d)}{d},\quad x=\frac{B(51+d)}{10}$$Проверка минимального возможного $B$ при каждом $d$ с учётом целочисленности $A$ и $x$ показывает, что наименьшее значение достигается при $d=9$, то есть $n=2$:
$$B=3,\quad A=\frac{3\cdot 60}{9}=20,\quad x=\frac{3\cdot 60}{10}=18$$Проверим возможность такого распределения баллов. В школе №1 первоначальная сумма баллов равна $2\cdot20=40$; после перехода остаётся $40-18=22$ балла у одного учащегося, поэтому новый средний балл равен $22=1{,}1\cdot20$. В школе №2 первоначальная сумма равна $49\cdot3=147$; после перехода сумма составляет $147+18=165$, а число учащихся — $50$, поэтому новый средний балл равен $165/50=3{,}3=1{,}1\cdot3$.
а) Нет. б) Нет. в) Наименьшее первоначальное среднее значение в школе №2 равно $3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что после перехода число учащихся в школе №1 уменьшается на 1, а в школе №2 увеличивается на 1.
Считают, что балл перешедшего учащегося может быть нулевым или отрицательным.
Проверяют только целочисленность среднего балла и не проверяют, что балл учащегося $x$ является натуральным числом.
Не учитывают ограничения $n,m\geq 2$ и равенство $n+m=51$.