Фрукты и средняя масса
В ящике лежит 87 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 94 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 127 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В ящике лежит 87 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 94 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 127 г. а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г? б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г? в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике? | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте через $n$, $k$ и $m$ количества фруктов массой соответственно меньше 100 г, равной 100 г и больше 100 г. Сравните общую массу с массой, которая получилась бы при массе каждого фрукта 100 г.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из условия о средней массе получите $n+k+m=87$ и $94n+100k+127m=8700$. После вычитания $100(n+k+m)=8700$ получится связь между $n$ и $m$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Имеем $-6n+27m=0$, поэтому $n=\frac{9m}{2}$. Пусть $m=2t$, тогда $n=9t$, $k=87-11t$. Минимальное значение $k$ достигается при наибольшем допустимом $t$. Для максимальной массы одного фрукта остальные фрукты массой больше 100 г должны иметь минимальную целую массу 101 г.