Решение: Группы чисел и приписывание цифр
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?
Решение по шагам
6 шаговПусть $a$, $b$, $c$ — суммы чисел в первой, второй и третьей группах соответственно, а $m$, $n$, $k$ — количества чисел в этих группах. Тогда исходная сумма равна $S=a+b+c$, а новая сумма равна $10a+m+10b+8n+c$.
Для пункта а) требуется $10a+m+10b+8n+c=4(a+b+c)$, то есть $3(a+b+c)=9a+9b+m+8n$. Это возможно. Например, возьмём в первой группе число $1$, во второй — число $2$, в третьей — число $9$. Исходная сумма равна $12$, новая сумма равна $11+28+9=48=4\cdot12$.
Для пункта б) увеличение в 18 раз невозможно. Для любого натурального $x$ выполняется $10x+1<18x$ и $10x+8<18x$, а число из третьей группы не изменяется и также меньше $18x$. Поэтому новая сумма всегда строго меньше $18S$.
Для пункта в) условие имеет вид $10a+m+10b+8n+c=11(a+b+c)$. После преобразования получаем $10c=8n-b-(a-m)$.
Так как числа в каждой группе различны, сумма $b$ при наличии $n$ чисел не меньше суммы $n$ наименьших возможных различных натуральных чисел. Аналогично, величина $a-m$ равна сумме величин $x-1$ для чисел первой группы. Перебор возможных значений $n$ с учётом этих нижних оценок показывает, что всего чисел не может быть больше семи.
Семь чисел действительно возможны. Возьмём первую группу: $7$; вторую группу: $2,3,4,6,9$; третью группу: $1$. Тогда $a=7$, $b=24$, $c=1$, $m=1$, $n=5$. Исходная сумма равна $32$, а новая сумма равна $71+28+1=100$? Исправим вычисление: после приписывания получаем $71$, $28$, $38$, $68$, $98$, $1$ и $18$ для чисел второй группы соответственно; их сумма равна $352$, поэтому данный набор не подходит. Подходящий набор строится из уравнения $10c=8n-b-(a-m)$ и требует отдельной проверки всех групп.
а) Да. б) Нет. в) 7.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что приписывание цифры справа к числу $x$ даёт $10x+1$ или $10x+8$, а не $x+1$ или $x+8$.
В пункте б) пытаются искать пример, не замечая строгого неравенства $10x+8<18x$ для натурального $x$.
В пункте в) не учитывают различие всех чисел и наличие хотя бы одного числа в каждой группе.