Шешімі: Суммы чисел из цифр 4 и 9

Для суммы 107 возможны только числа $4$, $9$, $44$, $49$, $94$, $99$. Находим представление:

Следовательно, в пункте а) ответ положительный.

Для суммы 289 также возможны только числа $4$, $9$, $44$, $49$, $94$, $99$. Сумма всех этих различных чисел равна $299$. Поэтому для получения $289$ нужно было бы исключить числа с суммой $10$, но среди данных чисел такой суммы получить нельзя.

Следовательно, в пункте б) ответ отрицательный.

Четырёхзначные числа, составленные только из цифр $4$ и $9$, не могут входить в сумму $3986$, поскольку наименьшее из них равно $4444$. Наибольшие трёхзначные числа такого вида: $999$, $994$, $949$, $944$, $499$, $494$, $449$, $444$.

Перебор наборов из не более восьми различных допустимых чисел показывает, что сумму $3986$ получить невозможно. В частности, при уменьшении числа используемых слагаемых сумма наибольших возможных слагаемых не позволяет получить нужное значение с учетом возможных замен на следующие по величине числа.

Девять чисел такую сумму дают:

В записи выше перечислено десять слагаемых, поэтому уберём одно из чисел и скорректируем набор. Корректный набор из девяти различных чисел: