Решение: Разбиение камней на группы
Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн?
б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны?
в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $x$ количество камней массой 7 тонн в первой группе, а через $y$ — количество камней массой 22 тонны в первой группе. Тогда масса первой группы равна $7x+22y$, где $0\leq x\leq4$ и $0\leq y\leq9$. Общая масса всех камней равна
$$4\cdot7+9\cdot22=226$$Если разность масс групп равна 8 тонн, масса одной из групп должна быть равна $\frac{226-8}{2}=109$ тонн или $\frac{226+8}{2}=117$ тонн.
Проверим возможность получить 109 тонн. Из уравнения $7x+22y=109$ по модулю 7 получаем $y\equiv4\pmod 7$. При допустимых значениях $y$ это даёт $y=4$, но тогда $7x=21$, то есть $x=3$. Следовательно, масса $109$ тонн достижима.
$$7\cdot3+22\cdot4=109$$Значит, в пункте а) ответ положительный. Например, в одну группу можно поместить 3 камня массой 7 тонн и 4 камня массой 22 тонны, а в другую — остальные камни.
Для равенства масс каждая группа должна иметь массу $226:2=113$ тонн. Уравнение $7x+22y=113$ по модулю 7 даёт $y\equiv1\pmod7$. Возможны $y=1$ и $y=8$. При $y=1$ получаем $x=13$, что недопустимо, а при $y=8$ масса камней массой 22 тонны уже равна 176 тоннам. Поэтому равное разбиение невозможно.
Для пункта в) нужно найти возможную массу группы, ближайшую к 113 тоннам. При $y=4$ возможные массы имеют вид $88+7x$: $88$, $95$, $102$, $109$, $116$. Ближайшие к 113 значения — 109 и 116, их отклонение равно 3 тоннам. Поэтому разность масс групп равна $2\cdot3=6$ тонн.
а) Да, например, массы групп могут быть 109 и 117 тонн. б) Нет. в) Наименьшая положительная разность равна 6 тонн.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что масса одной группы при разности 8 тонн может быть как 109, так и 117 тонн.
Проверяют равенство масс по общей массе, но не учитывают возможность составить группу массой 113 тонн.
В пункте в) находят отклонение массы одной группы от 113 тонн, но забывают умножить его на 2.