Решение: Преобразования дробей за ходы
Из правильной несократимой дроби $\dfrac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, за один ход получают дробь $\dfrac{a+b}{2a+b}$. а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\dfrac{1}{3}$ получить дробь $\dfrac{22}{31}$? б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\dfrac{7}{12}$? в) Несократимая дробь $\dfrac{c}{d}$ больше $0{,}7$. Найдите наименьшую дробь $\dfrac{c}{d}$, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода.
Решение по шагам
9 шаговПусть после одного хода из дроби $\dfrac{a}{b}$ получена дробь $\dfrac{c}{d}$. Тогда $c=a+b$, $d=2a+b$. Вычитая первое равенство из второго и подставляя результат, получаем обратное преобразование:
$$\frac{a}{b}=\frac{d-c}{2c-d}$$Для пункта а) последовательно применяем обратное преобразование:
$$\frac{22}{31}\to\frac{31-22}{2\cdot22-31}=\frac{9}{13}\to\frac{13-9}{2\cdot9-13}=\frac45\to\frac{5-4}{2\cdot4-5}=\frac13$$Следовательно, из дроби $\dfrac13$ за три хода можно получить дробь $\dfrac{22}{31}$.
Для пункта б) обратный ход из дроби $\dfrac{7}{12}$ даёт:
$$\frac{7}{12}\to\frac{12-7}{2\cdot7-12}=\frac52$$Полученная дробь $\dfrac52$ не является правильной, поэтому она не может быть результатом первого хода из правильной дроби. Тем более получить $\dfrac{7}{12}$ за два хода невозможно.
Для пункта в) два обратных хода из дроби $\dfrac{c}{d}$ дают:
$$\frac{c}{d}\to\frac{d-c}{2c-d}\to\frac{(2c-d)-(d-c)}{2(d-c)-(2c-d)}=\frac{3c-2d}{4d-3c}$$Чтобы исходная дробь после двух обратных ходов была правильной, необходимо и достаточно, чтобы $3c-2d>0$ и $3c-2d<4d-3c$. Это равносильно условиям:
$$\frac23<\frac{c}{d}<\frac57$$Значит, всякая несократимая дробь, лежащая между $0{,}7$ и $\dfrac57$, может быть получена за два хода. Сама дробь $\dfrac57$ не может быть получена: при двух обратных ходах она приводит к дроби $\dfrac11$, которая не является правильной.
Так как $\dfrac57>0{,}7$, а все дроби между $0{,}7$ и $\dfrac57$ достижимы, наименьшая недостижимая дробь равна $\dfrac57$.
а) Да, за три хода: $\dfrac13\to\dfrac45\to\dfrac9{13}\to\dfrac{22}{31}$. б) Нет. в) Наименьшая дробь — $\dfrac57$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно восстанавливают исходную дробь: обратное преобразование имеет вид $\dfrac{d-c}{2c-d}$.
Забывают, что исходная дробь должна быть правильной.
В пункте в) считают, что дробь $\dfrac57$ достижима, хотя два обратных хода приводят к дроби $\dfrac11$.