Решение: Сумма частных по последним цифрам
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна $S$.
Решение по шагам
6 шаговПусть первое из четырёх чисел имеет вид $10q+r$, где $r$ — его последняя цифра. Чтобы последние цифры всех четырёх чисел не были равны нулю, достаточно и необходимо, чтобы $r\in\{1,2,3,4,5,6\}$. Тогда четыре числа равны $10q+r$, $10q+r+1$, $10q+r+2$, $10q+r+3$.
После деления каждого числа на его последнюю цифру получаем формулу $S=\dfrac{10q+r}{r}+\dfrac{10q+r+1}{r+1}+\dfrac{10q+r+2}{r+2}+\dfrac{10q+r+3}{r+3}=4+10q\left(\dfrac1r+\dfrac1{r+1}+\dfrac1{r+2}+\dfrac1{r+3}\right)$.
Для пункта а) задано $S=16\dfrac56=\dfrac{101}{6}$. При $r=2$ имеем $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac15=\dfrac{77}{60}$, поэтому $S=4+\dfrac{77q}{6}$. При $q=1$ получаем $S=4+\dfrac{77}{6}=\dfrac{101}{6}$. Значит, такое значение возможно, например для чисел $12,13,14,15$.
Для пункта б) задано $S=569\dfrac{29}{126}=\dfrac{71723}{126}$, поэтому $S-4=\dfrac{71219}{126}$. Для $r=1,2,3,4,5,6$ значения $10\left(\dfrac1r+\dfrac1{r+1}+\dfrac1{r+2}+\dfrac1{r+3}\right)$ равны соответственно $\dfrac{125}{6}$, $\dfrac{77}{6}$, $\dfrac{19}{2}$, $\dfrac{319}{42}$, $\dfrac{533}{84}$, $\dfrac{1375}{252}$. Подстановка заданного $S$ ни в одном случае не даёт натурального значения $q$. Следовательно, такое значение $S$ невозможно.
Для пункта в) первое число трёхзначное, а четвёртое также трёхзначное, поэтому $100\leq 10q+r$ и $10q+r+3\leq999$. Следовательно, $q\leq99$. Рассмотрим целочисленность $S$ для каждого $r$. При $r=1$ имеем $S=4+\dfrac{125q}{6}$, поэтому $q$ должно делиться на $6$. Максимальное допустимое значение — $q=96$, и тогда $S=4+\dfrac{125\cdot96}{6}=2004$.
Для остальных значений $r$ максимальные целые значения меньше: при $r=2$ получается $1236$, при $r=3$ — $935$, при $r=4$ — $642$, при $r=5$ — $537$. При $r=6$ положительных допустимых значений $q\leq99$, дающих целое $S$, нет. Поэтому наибольшее целое значение достигается при числах $961,962,963,964$.
а) Да, например при числах $12,13,14,15$. б) Нет. в) Наибольшее целое значение $S$ равно $2004$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что последняя цифра каждого из четырёх чисел не должна быть равна нулю.
Проверять только один вариант последней цифры первого числа.
В пункте в) максимизировать $S$ без проверки того, что оно является целым.
Забывать ограничение на трёхзначность всех четырёх исходных чисел.