Разрезание линейки на сантиметры
Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров. Исследуйте возможность разрезания линейки длиной 16 см за четыре хода и линейки длиной 100 см за пять ходов на куски длиной 1 см, а также найдите наименьшее число ходов для линейки длиной 200 см.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров. а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см? | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Сколько максимум кусков длиной 1 см можно получить после одного хода из одного куска?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
После $k$ ходов из одного исходного куска можно получить не более $2^k$ кусков. Для доказательства достижимости используйте разрезание каждого куска на две части, длины которых отличаются не более чем на 1.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Для 16 см последовательно делите куски пополам: $16 \to 8+8 \to 16$ кусков длиной $4$ см, затем длиной $2$ см и, наконец, длиной $1$ см. Для 100 см пяти ходов недостаточно, так как $2^5=32<100$. Для 200 см восьми ходов достаточно, поскольку $200\le 2^8$, а семи недостаточно, поскольку $2^7=128<200$.