Шешімі: Среднее арифметическое чисел
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 12.
а) Может ли наибольшее из этих десяти чисел равняться 14?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 8,4?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.
Шешімін қадамдап көрсету
8 қадамУпорядочим числа: $x_1<x_2<\dots<x_{10}$. По условию сумма шести наименьших чисел равна $6\cdot6=36$, а сумма шести наибольших — $12\cdot6=72$.
$$x_1+\dots+x_6=36,\qquad x_5+\dots+x_{10}=72$$Суммы первых шести и последних шести чисел вместе содержат числа $x_5$ и $x_6$ дважды, а остальные — по одному разу. Поэтому сумма всех десяти чисел равна $108-(x_5+x_6)$.
$$S=108-(x_5+x_6)$$а) Если $x_{10}=14$, то шесть различных натуральных чисел, не превосходящих 14, имеют наибольшую возможную сумму $9+10+11+12+13+14=69$. Но по условию сумма шести наибольших равна 72. Следовательно, это невозможно.
б) Если среднее арифметическое всех десяти чисел равно $8{,}4$, то их сумма равна $84$. Поэтому $x_5+x_6=108-84=24$. Тогда сумма $x_7+x_8+x_9+x_{10}$ равна $72-24=48$. Но $x_5<x_6<x_7<\dots<x_{10}$, а при $x_5+x_6=24$ имеем $x_6\ge13$. Значит, сумма четырех последних чисел не меньше $14+15+16+17=62$, что противоречит равенству 48. Следовательно, это невозможно.
в) Для минимизации среднего арифметического нужно максимизировать $x_5+x_6$. Обозначим $x_5=a$, $x_6=b$. Так как четыре числа после $b$ различны и больше $b$, то $x_7+x_8+x_9+x_{10}\ge(b+1)+(b+2)+(b+3)+(b+4)=4b+10$.
$$72-a-b\ge4b+10,\qquad a+5b\le62$$Если $a+b\ge20$, то, поскольку $a<b$, имеем $b\ge11$. Тогда $a+5b=(a+b)+4b\ge20+44=64$, что противоречит неравенству $a+5b\le62$. Значит, $a+b\le19$.
Значение $a+b=19$ достижимо. Например, возьмем набор $1,2,6,8,9,10,11,12,13,17$. Сумма шести наименьших равна 36, а сумма шести наибольших равна 72.
Сумма всех чисел в этом наборе равна $108-19=89$, поэтому минимальное среднее арифметическое равно $89:10=8{,}9$.
а) Нет. б) Нет. в) Наименьшее значение среднего арифметического равно $8{,}9$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что числа $x_5$ и $x_6$ кіреді одновременно в сумму алты наименьших и алты наибольших.
Путают сумму всех чисел с суммой алты наименьших и алты наибольших.
Не доказывают достижимость найденной границы примером.
Используют неравенство для четырех последних чисел без учета их попарного различия.