Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй — 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое…
- 1
Обозначим количества камней в коробках через $a$, $b$ и $c$. Всего камней всегда 201. При ходе из первой и второй коробок в третью изменения имеют вид $(-1,-1,+2)$; при ходе из первой и третьей во вторую — $(-1,+2,-1)$; при ходе из второй…
- 2
В начальном состоянии $a-b=97-104=-7\equiv2\pmod3$, а $a-c=97-0=97\equiv1\pmod3$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из…
- 1
За один ход каждый имеющийся кусок можно разделить не более чем на два куска. Поэтому после $k$ ходов из одной исходной линейки можно получить не более $2^k$ кусков.$$N_k \leq 2^k$$
- 2
Для линейки длиной 16 см четыре хода возможны: сначала получаем два куска по 8 см, затем четыре куска по 4 см, затем восемь кусков по 2 см и, наконец, шестнадцать кусков по 1 см.$$16 \to 2\cdot 8 \to 4\cdot 4 \to 8\cdot 2 \to 16\cdot 1$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна $S$.
- 1
Пусть первое из четырёх чисел имеет вид $10q+r$, где $r$ — его последняя цифра. Чтобы последние цифры всех четырёх чисел не были равны нулю, достаточно и необходимо, чтобы $r\in\{1,2,3,4,5,6\}$. Тогда четыре числа равны $10q+r$…
- 2
После деления каждого числа на его последнюю цифру получаем формулу $S=\dfrac{10q+r}{r}+\dfrac{10q+r+1}{r+1}+\dfrac{10q+r+2}{r+2}+\dfrac{10q+r+3}{r+3}=4+10q\left(\dfrac1r+\dfrac1{r+1}+\dfrac1{r+2}+\dfrac1{r+3}\right)$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300? б) Могло…
- 1
Пусть исходное трёхзначное число имеет вид $100a+10b+c$, где $a\in\{1,2,\ldots,9\}$, а $b$ и $c$ — цифры. Сумма его цифр равна $a+b+c$.$$100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b$$
- 2
После деления получившейся разности на 3 результат операции равен:$$\frac{99a+9b}{3}=33a+3b=3(11a+b)$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5120. а) Может ли оказаться, что на доске написано число 230? б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14? в) Какое…
- 1
а) Если среди чисел есть 230, то остальные 99 различных натуральных чисел имеют сумму не менее суммы первых 99 натуральных чисел.$$1+2+\dots+99=\frac{99\cdot100}{2}=4950$$
- 2
Тогда общая сумма не менее $4950+230=5180$, что больше 5120. Поэтому число 230 на доске находиться не может.
Ещё 7 қадам — толық шешімде
На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде…
- 1
Пусть первая операция применяется к x числам, а вторая — к y числам. При первой операции цифра десятков увеличивается на 2, а цифра единиц уменьшается на 5, поэтому число увеличивается на $20-5=15$.$$\Delta_1=15$$
- 2
При второй операции цифра десятков уменьшается на 2, а цифра единиц увеличивается на 2, поэтому число уменьшается на $20-2=18$.$$\Delta_2=-18$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день, кроме первого, сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а…
- 1
Обозначим через $k_i$ количество чисел в $i$-й день, а через $S_i$ — сумму этих чисел. Тогда $k_1>k_2>\dots>k_n$, $S_1<S_2<\dots<S_n$, а поскольку каждое число не превосходит $5$, выполняется $S_i\leqslant 5k_i$.
- 2
В последней день сумма не превосходит $5$, если в этот день записано одно число. В частности, поскольку суммы строго возрастают, при $n>6$ невозможно подобрать последовательность положительных целых сумм, каждая из которых не превосходит…
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что…
- 1
Пусть в группе $n$ юношей и $n$ девушек. Обозначим через $x$ число юношей, отправивших по 5 писем. Тогда $n-x$ юношей отправили по 16 писем. По условию $x\geqslant2$ и $n-x\geqslant2$.$$S=5x+16(n-x)=16n-11x$$
- 2
а) Если каждая девушка получила ровно 7 писем, то всего было отправлено $7n$ писем. Поэтому $16n-11x=7n$, откуда $9n=11x$. Можно взять $n=11$, $x=9$. Тогда 9 юношей отправляют по 5 писем, а 2 юноши — по 16 писем; всего отправлено $77$…$$9n=11x,\quad n=11,\quad x=9$$
Ещё 8 қадам — толық шешімде
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом. а) Могут ли среди…
- 1
Пусть записаны числа $a_1,a_2,\ldots,a_{10}$. Среднее арифметическое любых четырёх чисел является целым, поэтому сумма любых четырёх чисел делится на $4$.$$\sum_{i\in I}a_i\equiv 0\pmod 4$$
- 2
Возьмём два набора из четырёх чисел, имеющих три общих числа, например $a,b,c,x$ и $a,b,c,y$. Разность их сумм равна $x-y$ и также делится на $4$. Следовательно, любые два записанных числа сравнимы по модулю $4$.
Ещё 8 қадам — толық шешімде
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На…
- 1
Пусть $b$ — количество синих карточек, а $r$ — количество красных карточек. По условию наибольшее число на синей карточке равно $r$, поэтому $r$ — положительное число, кратное 5. Наибольшее число на красной карточке равно $3b$.
- 2
Числа, кратные 3 и большие $-45$, начиная с $-42$ и заканчивая $3b$, образуют последовательность из $b+15$ чисел. Поэтому для размещения $r$ различных чисел на красных карточках необходимо $r\leq b+15$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140.
- 1
Для пункта а) предъявим пример пяти различных натуральных чисел: $7,9,10,11,12$. Минимальное произведение двух чисел равно $7 \cdot 9 = 63 > 60$, а максимальное — $11 \cdot 12 = 132 < 140$. Следовательно, любые два произведения лежат…$$60 < 63 \leq xy \leq 132 < 140$$
- 2
Пусть для пункта б) на доске записаны шесть чисел $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6$. Если $x_1 \leq 6$, то из условия $x_1x_2 > 60$ следует $x_2 \geq 11$. Поэтому $x_5 \geq 14$ и $x_6 \geq 15$, откуда $x_5x_6 \geq 210 > 140$, что…$$x_1 \leq 6 \Rightarrow x_2 \geq 11 \Rightarrow x_5x_6 \geq 14 \cdot 15 > 140$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 365. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
- 1
Обозначим числа, идущие по кругу, через $a_1,a_2,\ldots,a_N$, считая индексы по модулю $N$. Из делимости сумм четырёх последовательных чисел получаем$$a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}\equiv 0\pmod 4$$
- 2
Вычитая два соседних сравнения, получаем периодичность остатков по модулю 4:$$a_i\equiv a_{i+4}\pmod 4$$
Ещё 8 қадам — толық шешімде
На столе лежат $N$ монет по 2 рубля и $(1200-N)$ монет по 5 рублей, где $N$ — натуральное число от 1 до 1199. Известно, что при выборе любых 500 монет сумма денег в них будет не меньше четверти…
- 1
Общая сумма денег на столе составляет$$S=2N+5(1200-N)=6000-3N$$
- 2
Рассмотрим случай $N\geq 500$. Тогда можно выбрать 500 монет по 2 рубля, и это будет наименьшая возможная сумма среди любых наборов из 500 монет. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы$$1000\geq\frac{6000-3N}{4}$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа…
- 1
Пусть $a$, $b$, $c$ — суммы чисел в первой, второй и третьей группах соответственно, а $m$, $n$, $k$ — количества чисел в этих группах. Тогда исходная сумма равна $S=a+b+c$, а новая сумма равна $10a+m+10b+8n+c$.
- 2
Для пункта а) требуется $10a+m+10b+8n+c=4(a+b+c)$, то есть $3(a+b+c)=9a+9b+m+8n$. Это возможно. Например, возьмём в первой группе число $1$, во второй — число $2$, в третьей — число $9$. Исходная сумма равна $12$, новая сумма равна…
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день, кроме первого, сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а…
- 1
Обозначим через $k_i$ количество чисел в $i$-й день, а через $S_i$ — сумму этих чисел. Тогда $k_1>k_2>\dots>k_n\geq 1$, $S_1<S_2<\dots<S_n$, а поскольку каждое число не больше $5$, имеем $S_i\leq 5k_i$.
- 2
а) Да, $n$ может быть любым, в частности больше $5$. Для заданного $n$ возьмём $k_i=m+n-i$, где $m$ достаточно велико, и $S_i=m+n-1+i$. Тогда количества строго убывают, суммы строго возрастают, а при достаточно большом $m$ выполняются…
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите задачу. а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных…
- 1
Обозначим сумму цифр каждого слагаемого через $s$. По признаку делимости на 9 любое число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 9.$$a\equiv s\pmod 9,\quad b\equiv s\pmod 9$$
- 2
Для пункта а) достаточно предъявить подходящее разложение:$$2043=1089+954$$
Ещё 8 қадам — толық шешімде
Из набора цифр $0$, $1$, $2$, $3$, $5$, $7$ и $9$ составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное, и оба числа кратны $45$.
- 1
Число, кратное $45$, должно быть кратно $5$ и $9$. Поэтому одно из составляемых чисел оканчивается на $0$, а другое — на $5$.
- 2
Сумма всех использованных цифр равна $0+1+2+3+5+7+9=27$. Поэтому сумма цифр каждого из двух чисел должна быть кратна $9$.
Ещё 7 қадам — толық шешімде
По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на…
- 1
Обозначим остаток числа, стоящего на $i$-м месте, при делении на 3 через $a_i$. Из делимости любых четырёх соседних чисел получаем$$a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}\equiv 0\pmod 3$$
- 2
Для следующей четвёрки имеем аналогичное равенство. Вычитая первое равенство из второго, получаем$$a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+a_{i+4}-(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3})\equiv 0\pmod 3$$
Ещё 8 қадам — толық шешімде
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 12. а) Может ли наибольшее из этих десяти…
- 1
Упорядочим числа: $x_1<x_2<\dots<x_{10}$. По условию сумма шести наименьших чисел равна $6\cdot6=36$, а сумма шести наибольших — $12\cdot6=72$.$$x_1+\dots+x_6=36,\qquad x_5+\dots+x_{10}=72$$
- 2
Суммы первых шести и последних шести чисел вместе содержат числа $x_5$ и $x_6$ дважды, а остальные — по одному разу. Поэтому сумма всех десяти чисел равна $108-(x_5+x_6)$.$$S=108-(x_5+x_6)$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на 5 больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, 40, 45, 50 — удачная тройка.
- 1
Пусть $a<b<c$ — числа тройки. Для наименьшего числа условие имеет вид $a\ge\dfrac{b+c}{3}+5$, то есть $3a\ge b+c+15$. Для двух остальных чисел это условие автоматически слабее, поскольку они больше $a$.$$3a\ge b+c+15$$
- 2
а) Для тройки $50,60,n$, где $n>60$, получаем $3\cdot50\ge60+n+15$. Следовательно, $n\le75$. Поэтому $n$ может принимать значения от 61 до 75 включительно.$$150\ge60+n+15\quad\Longrightarrow\quad n\le75$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде