361ФИПИ 667CEC№ 21Күрделі Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
- 1
Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.$$x>5$$
- 2
Время движения по течению равно $\dfrac{56}{x+5}$ ч, а время движения против течения — $\dfrac{54}{x-5}$ ч. Составим уравнение по условию задачи.$$\dfrac{56}{x+5}+\dfrac{54}{x-5}=5$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
362ФИПИ 68A75C№ 21Күрделі Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 20 минут, а затем продолжил движение до встречи…
- 1
Пусть $t$ часов — время движения второго велосипедиста до встречи. Первый велосипедист был в пути на $20$ минут, то есть на $\dfrac{1}{3}$ часа, меньше.$$t_1=t-\dfrac{1}{3}$$
- 2
Расстояния, пройденные велосипедистами, в сумме равны расстоянию между городами.$$20\left(t-\dfrac{1}{3}\right)+30t=210$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
363ФИПИ 68C109№ 21Күрделі Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда скорость на обратном пути равна $x+8$ км/ч.$$v_{\text{АВ}}=x,\quad v_{\text{ВА}}=x+8$$
- 2
Время движения из А в В равно отношению расстояния к скорости.$$t_{\text{АВ}}=\dfrac{209}{x}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
364ФИПИ 694321№ 21Күрделі Расстояние между пристанями А и В равно 72 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…
- 1
Плот движется со скоростью течения реки, то есть со скоростью 3 км/ч. По условию он проплыл 33 км, поэтому всё время от начала движения плота до возвращения лодки равно$$t=\dfrac{33}{3}=11\text{ ч}$$
- 2
Лодка отправилась через час после плота, значит, она находилась в пути$$11-1=10\text{ ч}$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
365ФИПИ 6E6EA2№ 21Күрделі Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 56 минут, а затем продолжил движение до встречи…
- 1
Обозначим через $t$ время движения второго велосипедиста до встречи. Остановка первого велосипедиста длилась $\dfrac{56}{60} = \dfrac{14}{15}$ часа, поэтому первый велосипедист двигался $t - \dfrac{14}{15}$ часа.$$t - \dfrac{14}{15}$$
- 2
Расстояние между городами равно сумме расстояний, пройденных велосипедистами.$$20\left(t - \dfrac{14}{15}\right) + 30t = 93$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
366ФИПИ 6F8CA8№ 21Күрделі Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Найдём время движения автомобиля на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{300}{60} = 5\text{ ч},\quad t_2 = \dfrac{300}{100} = 3\text{ ч},\quad t_3 = \dfrac{300}{75} = 4\text{ ч}$$
- 2
Определим общий путь и общее время движения.$$S = 300 + 300 + 300 = 900\text{ км},\quad t = 5 + 3 + 4 = 12\text{ ч}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…
- 1
Плот движется со скоростью течения реки, поэтому время его движения до момента возвращения лодки равно$$t_{\text{плота}} = \dfrac{51}{3} = 17\ \text{ч}$$
- 2
Лодка отправилась через час после плота, значит, она находилась в пути$$t_{\text{лодки}} = 17 - 1 = 16\ \text{ч}$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
368ФИПИ 70D39F№ 21Күрделі Два велосипедиста одновременно отправляются в 140-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 6 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+6$ км/ч.
- 2
Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{140}{x}$ ч, а время движения первого — $\dfrac{140}{x+6}$ ч. Первый прибыл на 3 часа раньше, поэтому$$\dfrac{140}{x} - \dfrac{140}{x+6} = 3$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
369ФИПИ 72795D№ 21Күрделі Два автомобиля одновременно отправляются в 900-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 5 ч раньше второго. Найдите скорость первого…
- 1
Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля равна $x - 30$ км/ч.
- 2
Время движения первого автомобиля равно $\dfrac{900}{x}$ ч, а время движения второго — $\dfrac{900}{x-30}$ ч.
Ещё 7 қадам — толық шешімде
370ФИПИ 730F58№ 21Күрделі Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость теплохода по течению равна $x+4$ км/ч, а против течения — $x-4$ км/ч.
- 2
Время движения теплохода по течению и против течения соответственно равно $\dfrac{210}{x+4}$ и $\dfrac{210}{x-4}$ часов. С учётом стоянки составим уравнение:$$\dfrac{210}{x+4}+9+\dfrac{210}{x-4}=27$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
371ФИПИ 7362A0№ 21Күрделі Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 140 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 4 км/ч навстречу поезду, за 10 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей.$$v_{\text{отн}} = 140 + 4 = 144\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$144\ \text{км/ч} = \frac{144}{3{,}6} = 40\ \text{м/с}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
372ФИПИ 739910№ 21Күрделі Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час…
- 1
Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+5$ деталей в час.
- 2
Второй рабочий выполняет заказ за $\dfrac{180}{x}$ часов, а первый — за $\dfrac{180}{x+5}$ часов. Первый тратит на 3 часа меньше:$$\dfrac{180}{x} - \dfrac{180}{x+5} = 3$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
373ФИПИ 7565CB№ 21Күрделі Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Резервуар объёмом 100 литров первая труба заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту…
- 1
Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+15$ литров воды в минуту.
- 2
Время заполнения резервуара первой трубой равно $\dfrac{100}{x}$ минут, а второй трубой — $\dfrac{100}{x+15}$ минут.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
374ФИПИ 772BB0№ 21Күрделі Свежие фрукты содержат 84 % воды, а высушенные — 29 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 32 кг высушенных фруктов?
- 1
Определим долю сухого вещества в свежих фруктах:$$100\% - 84\% = 16\%$$
- 2
Определим долю сухого вещества в высушенных фруктах:$$100\% - 29\% = 71\%$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
375ФИПИ 77D130№ 21Күрделі Свежие фрукты содержат 82 % воды, а высушенные — 29 %. Сколько сухих фруктов получится из 284 кг свежих фруктов?
- 1
Вычислим массу сухого вещества в свежих фруктах. Его доля составляет $100\% - 82\% = 18\%$.$$284 \cdot 0{,}18 = 51{,}12\ \text{кг}$$
- 2
В высушенных фруктах сухое вещество составляет $100\% - 29\% = 71\%$ массы.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
376ФИПИ 787778№ 21Күрделі Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные — 24 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 42 кг высушенных фруктов?
- 1
Определим долю сухого вещества в свежих фруктах:$$100\% - 86\% = 14\%$$
- 2
Определим массу сухого вещества в 42 кг высушенных фруктов:$$42 \cdot 0{,}76 = 31{,}92\ \text{кг}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
377ФИПИ 79B979№ 21Күрделі Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час…
- 1
Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+10$ деталей в час.$$x>0$$
- 2
Время выполнения заказа вторым рабочим равно $\dfrac{60}{x}$ часов, а первым — $\dfrac{60}{x+10}$ часов. По условию первый рабочий тратит на 3 часа меньше.$$\dfrac{60}{x}-\dfrac{60}{x+10}=3$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
378ФИПИ 79DD62№ 21Күрделі Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 151 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 5 км/ч навстречу поезду, за 15 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме скоростей.$$v_{\text{сбл}} = 151 + 5 = 156\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём скорость сближения в метры в секунду.$$v_{\text{сбл}} = \dfrac{156}{3{,}6} = \dfrac{130}{3}\ \text{м/с}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то…
- 1
Пусть $x$ — доля кислоты в первом растворе, а $y$ — доля кислоты во втором растворе.
- 2
При смешивании равных масс растворов концентрация полученной смеси равна среднему арифметическому концентраций этих растворов:$$\frac{x+y}{2}=0{,}60$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то…
- 1
Обозначим через $x$ кг массу кислоты в первом растворе, а через $y$ кг — массу кислоты во втором растворе.
- 2
При смешивании растворов полностью масса полученной кислоты составляет $40\%$ от общей массы растворов:$$x+y=0{,}4(30+42)=28{,}8$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде