Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x-2)a^2+(x^3-x^2-4)a+x^4-4x^2=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Сгруппируем слагаемые и разложим многочлен по множителю $x-2$:$$(x-2)a^2+(x^3-x^2-4)a+x^4-4x^2=(x-2)\left(x^3+(a+2)x^2+ax+2a(a+1)\right)$$
- 2
Следовательно, $x=2$ является корнем при любом $a$. Обозначим кубический множитель через $Q_a(x)$.$$Q_a(x)=x^3+(a+2)x^2+ax+2a(a+1)$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, для каждого из которых уравнение $25^x-(a+6)5^x=(5+3|a|)5^x-(a+6)(3|a|+5)$ имеет единственное решение.
- 1
Введём замену $t=5^x$. Так как $5^x>0$ при любом действительном $x$, необходимо рассматривать только положительные корни $t$.$$t=5^x>0$$
- 2
Поскольку $25^x=(5^x)^2=t^2$, перенесём все слагаемые в левую часть и разложим выражение на множители.$$t^2-(a+11+3|a|)t+(a+6)(3|a|+5)=0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Каждый январь долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего года, а с февраля по июнь каждого…
- 1
Обозначим через $x=\frac{r}{100}$ долю ежегодного увеличения долга, а через $q=1+x$ коэффициент увеличения. Все суммы будем измерять в миллионах рублей.$$q=1+x$$
- 2
В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг равен 6,6 млн рублей. Поэтому после январского увеличения до $6{,}6q$ ежегодная выплата в каждом из этих трёх лет равна:$$6{,}6q-6{,}6=6{,}6(q-1)=6{,}6x$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств \[ \begin{cases} 2a \le x,\\ 6x > x^2+a^2,\\ x+a \le 6 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.
- 1
Пусть $x \in [4;5]$. Первое неравенство задаёт условие $a \le \dfrac{x}{2}$, а третье — условие $a \le 6-x$.$$a \le \min\left(\dfrac{x}{2},6-x\right)$$
- 2
На отрезке $[4;5]$ имеем $\dfrac{x}{2} \ge 2$. Поэтому при $a\le 2$ первое неравенство не создаёт дополнительного ограничения по сравнению с необходимыми условиями.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left(\lvert x-a^2\rvert+\lvert x+1\rvert\right)^2-7\left(\lvert x-a^2\rvert+\lvert x+1\rvert\right)+4a^2+4=0$ имеет ровно два различных…
- 1
Обозначим $b=a^2$ и $t=\lvert x-b\rvert+\lvert x+1\rvert$. Так как точки $b$ и $-1$ различны, минимальное значение выражения $t$ равно $b+1$, а каждое значение $t>b+1$ соответствует ровно двум значениям $x$. При $t=b+1$ получается только…$$t\ge b+1$$
- 2
Исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно $t$:$$t^2-7t+4b+4=0$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left(|x-a-1|+|x-a+1|\right)^2+a\left(|x-a-1|+|x-a+1|\right)+a^2-16=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Введём обозначение $t=|x-a-1|+|x-a+1|$. По свойствам суммы расстояний до точек $a-1$ и $a+1$ имеем $t\ge 2$. При $|x-a|\le 1$ значение $t=2$, а при $|x-a|>1$ значение $t=2|x-a|>2$.
- 2
Исходное уравнение принимает вид $t^2+at+a^2-16=0$. Если $t>2$, то каждому допустимому значению $t$ соответствуют ровно два корня $x=a\pm \dfrac{t}{2}$. Значение $t=2$ не подходит, так как тогда имеется бесконечно много значений…
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x+2a}\cdot\ln(x-a)=(x-1)\cdot\ln(x-a)$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
- 1
Область определения уравнения задаётся условиями $x-a>0$ и $x+2a\ge 0$. Перенесём всё в одну часть и разложим на множители:$$\ln(x-a)\left(\sqrt{x+2a}-x+1\right)=0$$
- 2
Рассмотрим первый множитель:$$\ln(x-a)=0\Rightarrow x-a=1\Rightarrow x=a+1$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases} x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0,\\ y^2=x^2 \end{cases}$$ имеет ровно четыре различных решения.
- 1
Из второго уравнения системы следует, что $y=x$ или $y=-x$.
- 2
Рассмотрим случай $y=x$. Подставляя это равенство в первое уравнение, получаем$$2x^2-(6a+4)x+5a^2+8a+3=0$$
Ещё 9 қадам — толық шешімде
Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения. Формулы системы на предоставленном изображении и в распознанном тексте отсутствуют.
- 1
В условии приведено требование найти значения параметра, при которых система имеет ровно два различных решения.
- 2
Однако сами уравнения системы, а также обозначение параметра, отсутствуют в доступных данных. Поэтому множество искомых значений определить невозможно.
Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.
- 1
В предоставленном тексте и на изображении не отображаются ни обозначение параметра, ни сами уравнения системы.
- 2
Без этих формул невозможно определить множество решений системы и исследовать, при каких значениях параметра их ровно два.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases} ax^2+ay^2+2ax+(a+2)y+1=0,\\ xy+1=x+y \end{cases}$$ имеет ровно четыре различных решения.
- 1
Преобразуем второе уравнение:$$xy+1=x+y \Longleftrightarrow xy-x-y+1=0 \Longleftrightarrow (x-1)(y-1)=0$$
- 2
Следовательно, шешімдер системы лежат на двух прямых: $x=1$ или $y=1$.
Ещё 9 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} (x+ay-5)(x+ay-5a)=0,\\ x^2+y^2=16 \end{cases} $$ имеет ровно четыре различных решения.
- 1
Первое уравнение системы равносильно совокупности двух уравнений прямых:$$x+ay=5 \quad\text{или}\quad x+ay=5a$$
- 2
Второе уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $4$. При $a\ne1$ прямые различны и параллельны. Чтобы система имела ровно четыре различных решения, каждая из двух прямых должна пересекать окружность в двух точках.
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases} y=|x-a|-4,\\ 4|y|+x^2+8x=0 \end{cases}$$ имеет ровно четыре различных решения.
- 1
Из второго уравнения системы получаем$$4|y|=-x^2-8x=16-(x+4)^2$$
- 2
Следовательно, $x\in[-8;0]$. Введём замену $t=x+4$, $b=a+4$. Тогда $t\in[-4;4]$, а система принимает вид$$y=|t-b|-4,\qquad |y|=4-\frac{t^2}{4}$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.
- 1
В условии отсутствуют сами уравнения системы, а также явно не указано обозначение параметра.
- 2
Поэтому нельзя составить уравнение или неравенство, определяющее случаи, когда система имеет ровно два различных решения.
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t=1,2,\ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт…
- 1
Если ценные бумаги продаются в конце $k$-го года, то полученная сумма равна $k^2$ тыс. рублей. До конца двадцатого года она увеличится в $1+r$ раз $20-k$ раз, поэтому итоговая сумма имеет вид$$S_k=k^2(1+r)^{20-k}$$
- 2
Рассмотрим отношение соседних членов этой последовательности:$$\frac{S_{k+1}}{S_k}=\frac{(k+1)^2(1+r)^{19-k}}{k^2(1+r)^{20-k}}=\frac{(k+1)^2}{k^2(1+r)}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} x^4-y^4=12a-28,\\ x^2+y^2=a \end{cases} $$ имеет ровно четыре различных решения.
- 1
Так как $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)$, при $a=0$ система несовместна: первое уравнение даёт $x^4-y^4=-28$, а второе — $x^2+y^2=0$, откуда $x^4-y^4=0$. Поэтому далее считаем $a>0$.
- 2
Обозначим $u=x^2$, $v=y^2$. Тогда $u\geqslant0$, $v\geqslant0$, а система принимает вид$$\begin{cases}u+v=a,\\a(u-v)=12a-28\end{cases}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a$ имеет ровно 3 решения.
- 1
Так как левая часть исходного уравнения неотрицательна, необходимо учитывать условие $x^2+2x-3a\geq 0$. Возведём уравнение в квадрат:$$x^4-4x^2+9a^2=(x^2+2x-3a)^2$$
- 2
Раскрывая скобки и перенося все слагаемые в одну сторону, получаем:$$-4x^3+(6a-8)x^2+12ax=0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x^2-x)a^2+(x^4-x^3-x+1)a-x^3+x^2=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Разложим выражение в исходном уравнении:$$x^4-x^3-x+1=(x-1)^2(x^2+x+1),\quad -x^3+x^2=-x^2(x-1)$$
- 2
Вынесем общий множитель $x-1$:$$(x-1)\left(xa^2+(x^3-1)a-x^2\right)=0$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2)^2-(a+1)(4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2)+4=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Введём обозначение $y=4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2$. Тогда исходное уравнение принимает вид$$y^2-(a+1)y+4=0$$
- 2
Исследуем зависимость $y$ от $x$. Так как $a^2\geq 0$, имеем $-a^2\leq 1$. При $x\leq -a^2$ выражение равно $6x+6a^2+1$, при $-a^2\leq x\leq 1$ — $1$, а при $x\geq 1$ — $2x-1$.$$y(x)=\begin{cases}6x+6a^2+1,&x\leq-a^2,\\1,&-a^2\leq x\leq1,\\2x-1,&x\geq1.\end{cases}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^2+a^2+x-7a=|7x+a|$ имеет больше двух различных корней.
- 1
Разобьём уравнение по знаку выражения под модулем.$$7x+a\geqslant 0\quad\text{или}\quad 7x+a<0$$
- 2
При $7x+a\geqslant 0$ получаем уравнение $x^2-6x+a^2-8a=0$ с условием $x\geqslant -\dfrac{a}{7}$. Его дискриминант равен $D_1=4\bigl(25-(a-4)^2\bigr)$, поэтому действительные корни существуют при $-1\leqslant a\leqslant 9$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде