Система с параметром и модулем
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases} y=|x-a|-4,\\ 4|y|+x^2+8x=0 \end{cases}$$
имеет ровно четыре различных решения.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Найдите все значения при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Из второго уравнения выразите $|y|$ и определите область возможных значений $x$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Сделайте замену $t=x+4$ и $b=a+4$. Тогда $t\in[-4;4]$, а второе уравнение задаёт две дуги: $y=4-\dfrac{t^2}{4}$ и $y=-4+\dfrac{t^2}{4}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Для верхней дуги получаем $b=t-8+\dfrac{t^2}{4}$ или $b=t+8-\dfrac{t^2}{4}$, а для нижней — $b=t-\dfrac{t^2}{4}$ или $b=t+\dfrac{t^2}{4}$. Подсчёт корней показывает, что ровно четыре решения возникают при $-1<b<0$.