Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Обозначим число верных ответов через $x$, а число ошибок — через $y$. Так как участник ошибся хотя бы один раз, $y \geq 1$.$$9x - 16y = 171$$

Выразим число верных ответов:$$x = \frac{171 + 16y}{9} = 19 + \frac{16y}{9}$$

Найдём расстояние, пройденное автомобилем на каждом участке.$$S_1 = 80 \cdot 1 = 80\ \text{км},\quad S_2 = 75 \cdot 2 = 150\ \text{км},\quad S_3 = 50 \cdot 2 = 100\ \text{км}$$

Найдём общий путь и общее время движения.$$S_{\text{общ}} = 80 + 150 + 100 = 330\ \text{км},\quad t_{\text{общ}} = 1 + 2 + 2 = 5\ \text{ч}$$

Переведём время работы второго и третьего насосов в минуты.$$1\text{ ч }35\text{ мин}=95\text{ мин},\quad 1\text{ ч }54\text{ мин}=114\text{ мин}$$

Найдём общую производительность насосов.$$\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{95}+\dfrac{1}{114}=\dfrac{19}{570}+\dfrac{6}{570}+\dfrac{5}{570}=\dfrac{30}{570}=\dfrac{1}{19}$$

Чтобы получить $n$ кусков из одной палки, нужно сделать $n - 1$ распилов. Поэтому число линий каждого цвета на одну меньше числа получаемых кусков.

Количество красных, жёлтых и зелёных линий соответственно равно:$$9 - 1 = 8,\quad 12 - 1 = 11,\quad 8 - 1 = 7$$

Пусть $x$ — расстояние от дома до места встречи. Время движения первого человека равно $\dfrac{x}{2{,}5}$ часа.

Второй человек проходит до опушки $5{,}3$ км и возвращается на расстояние $5{,}3-x$ км. Его общий путь до встречи равен $10{,}6-x$ км, поэтому время движения равно $\dfrac{10{,}6-x}{2{,}8}$ часа.

Переведём время работы третьего насоса в минуты: $1$ час $48$ минут $= 108$ минут.

Найдём производительность каждого насоса в долях бака за минуту:$$v_1=\frac{1}{12},\quad v_2=\frac{1}{54},\quad v_3=\frac{1}{108}$$

Найдём время движения теплохода без учёта стоянки:$$28 - 6 = 22\text{ ч}$$

Скорость теплохода по течению равна $24$ км/ч, против течения — $20$ км/ч.

Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Составляем уравнение по количеству никеля в сплавах.$$0{,}1 \cdot 60 + 0{,}45x = 0{,}35(60+x)$$

Раскрываем скобки и решаем уравнение.$$6+0{,}45x=21+0{,}35x,\quad 0{,}1x=15,\quad x=150$$

Поскольку весь путь занял 10 часов, а спуск — 5 часов, на подъём турист затратил тоже 5 часов.$$t_{\text{подъём}} = 10 - 5 = 5$$

Пусть скорость на спуске равна $x$ км/ч. Тогда скорость на подъёме равна $x - 1$ км/ч.$$v_{\text{спуск}} = x,\quad v_{\text{подъём}} = x - 1$$

Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Тогда скорость велосипедиста равна $x+4$ км/ч.

За 2 часа пешеход и велосипедист вместе преодолели расстояние 24 км, поэтому составим уравнение:$$2x+2(x+4)=24$$

Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Тогда скорость велосипедиста равна $x + 7$ км/ч.$$v_\text{в} = x + 7$$

За 2 часа пешеход и велосипедист вместе преодолели расстояние 30 км.$$2\bigl(x + (x + 7)\bigr) = 30$$

При встрече велосипедисты проехали равные расстояния, поэтому каждый проехал половину расстояния между городами:$$s = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{км}$$

Время движения первого велосипедиста до встречи равно:$$t_1 = \dfrac{3}{12}\ \text{ч} = 15\ \text{мин}$$

Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $20+x$ кг.$$m_3 = 20+x$$

Составим уравнение по массе меди в сплавах.$$0{,}4 \cdot 20 + 0{,}25x = 0{,}35(20+x)$$

Пусть $x$ — число правильных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$.$$7x - 9y = 56$$

Выразим число неправильных ответов:$$y = \frac{7x-56}{9}$$

Переведём время работы третьего насоса в минуты:$$1\ ч\ 17\ мин = 60 + 17 = 77\ мин$$

Производительность трёх насосов при совместной работе равна сумме их производительностей:$$\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{44}+\dfrac{1}{77}$$

Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $x$ — стоимость 1 литра кваса.$$b + x = 36$$

Для бутылки объёмом 2 литра получаем второе уравнение.$$b + 2x = 68$$

Всего прибыль разделена на $2+5=7$ равных частей.

На частных акционеров приходится 5 частей, поэтому их доля прибыли равна $\dfrac{5}{7}$.

Пусть скорость туриста на спуске равна $x$ км/ч. Тогда скорость на подъёме равна $x-1$ км/ч.

Турист шёл по спуску 4 часа, значит длина спуска равна $4x$ км. На подъём он затратил $5-4=1$ час, поэтому длина подъёма равна $x-1$ км.

Составим числа из цифр 3, 2 и 4, которые больше 324: 342, 423 и 432.

Число выпавших страниц должно быть чётным, поскольку каждый лист содержит две страницы. Для числа 342 между страницами 324 и 342 находятся 17 страниц, а для числа 432 — 107 страниц. Подходит число 423: между страницами 324 и 423 находятся…

Вычислим путь, пройденный автомобилем на каждом участке.$$s_1 = 95 \cdot 2 = 190\text{ км},\quad s_2 = 75 \cdot 2 = 150\text{ км},\quad s_3 = 45 \cdot 1 = 45\text{ км}$$

Найдём весь пройденный путь и общее время движения.$$s = 190 + 150 + 45 = 385\text{ км},\quad t = 2 + 2 + 1 = 5\text{ ч}$$