Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 14 м. За какое наименьшее количество дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?
- 1
После каждого полного дня и последующей ночи улитка продвигается на $4-2=2$ м. Перед последним подъёмом ночное сползание учитывать нужно только после предыдущих дней.$$4n-2(n-1)\ge14$$
- 2
Решим неравенство для количества дней:$$4n-2n+2\ge14,\quad 2n\ge12,\quad n\ge6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Моторная лодка прошла против течения реки 224 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1…
- 1
Пусть $v$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $v-1$ км/ч, а по течению — $v+1$ км/ч.
- 2
Время движения против течения на 2 часа больше времени движения по течению:$$\dfrac{224}{v-1}-\dfrac{224}{v+1}=2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В классе 27 учеников. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с пятью мальчиками. Сколько мальчиков учится в этом классе?
- 1
Пусть $x$ — число мальчиков, а $y$ — число девочек. По условию всего в классе 27 учеников.$$x+y=27$$
- 2
Посчитаем количество пар дружбы между мальчиками и девочками двумя способами. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с пятью мальчиками.$$4x=5y$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 45 % меди, второй — 10 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 40 % меди. Масса первого сплава равна 150 кг. Найдите массу третьего…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $150+x$ кг.$$m_3 = 150+x$$
- 2
Составим уравнение по массе меди: масса меди в двух исходных сплавах равна массе меди в полученном сплаве.$$0{,}45 \cdot 150 + 0{,}1x = 0{,}4(150+x)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Смешали 4 кг 20-процентного раствора вещества с 6 кг 35-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Найдём массу вещества в первом растворе:$$4 \cdot 0{,}20 = 0{,}8\text{ кг}$$
- 2
Найдём массу вещества во втором растворе:$$6 \cdot 0{,}35 = 2{,}1\text{ кг}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Из городов A и B, расстояние между которыми равно 240 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 130 км от города B. Найдите скорость…
- 1
Найдём расстояние от города A до места встречи:$$s_A = 240 - 130 = 110\ \text{км}$$
- 2
Автомобиль проехал это расстояние за 2 часа, поэтому его скорость равна:$$v_A = \dfrac{s_A}{t} = \dfrac{110}{2} = 55\ \text{км/ч}$$
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 24 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в…
- 1
Найдём скорости теплохода относительно берега.$$v_{\text{по течению}}=24+4=28\text{ км/ч},\quad v_{\text{против течения}}=24-4=20\text{ км/ч}$$
- 2
Пусть расстояние от исходного пункта до места стоянки равно $x$ км. Время движения по течению равно $\dfrac{x}{28}$, а время движения против течения — $\dfrac{x}{20}$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…
- 1
Пусть $x$ — число правильных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию набрано 75 очков:$$5x - 11y = 75$$
- 2
Преобразуем уравнение: $5x = 75 + 11y$. Левая часть и число 75 делятся на 5, значит, $11y$ и поэтому $y$ делится на 5.
Ещё 3 шага — в полном решении
Расстояние между городами A и B равно 700 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B со скоростью 85 км/ч выехал второй автомобиль…
- 1
До места встречи второй автомобиль проехал расстояние $700 - 360 = 340$ км.$$s_2 = 700 - 360 = 340$$
- 2
Время движения второго автомобиля составило:$$t_2 = \dfrac{340}{85} = 4\text{ ч}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…
- 1
Обозначим через $x$ число правильных ответов, а через $y$ — число неправильных ответов. По условию $y \geq 1$, а всего отвеченных вопросов не больше 25.$$x+y\leq 25$$
- 2
Составим уравнение по количеству набранных очков.$$7x-10y=42$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Первые три часа автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующий час — со скоростью 65 км/ч, а затем один час — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…
- 1
Найдём путь, пройденный автомобилем на каждом участке, и сложим эти расстояния.$$S = 3 \cdot 70 + 1 \cdot 65 + 1 \cdot 45 = 320\ \text{км}$$
- 2
Общее время движения составляет $3 + 1 + 1 = 5$ часов.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Расстояние между городами А и В равно 5,6 км. Из города А в город В выехал первый велосипедист со скоростью 12 км/ч, а через несколько минут после этого из города В в город А навстречу первому…
- 1
При встрече велосипедисты проехали равные расстояния, поэтому каждый проехал половину расстояния между городами.$$s = \dfrac{5{,}6}{2} = 2{,}8\ \text{км}$$
- 2
Найдём время движения первого велосипедиста.$$t_1 = \dfrac{2{,}8}{12}\ \text{ч} = 14\ \text{мин}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В сосуд, содержащий 6 кг 30-процентного водного раствора вещества, добавили 4 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Найдём массу вещества в исходном растворе:$$m = 6 \cdot 0{,}30 = 1{,}8\ \text{кг}$$
- 2
После добавления воды масса вещества не изменится, а масса раствора станет равной:$$M = 6 + 4 = 10\ \text{кг}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 150 км/ч, а последнюю треть — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего…
- 1
Пусть длина всей трассы равна $3s$. Тогда длина каждого из трёх участков равна $s$.
- 2
Найдём время движения на каждом участке и сложим его:$$t = \frac{s}{60} + \frac{s}{150} + \frac{s}{100}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Поручение на окрашивание деталей маляр Сергей мог выполнить за 6 часов. Однако к нему на помощь были направлены ещё два маляра. Скорость работы первого в 1,5 раза, а второго в 1,25 больше, чем у…
- 1
Примем объём всей работы за 1. Производительность Сергея составляет одну шестую работы в час.$$v_С=\dfrac{1}{6}$$
- 2
Производительности первого и второго маляров соответственно равны:$$v_1=1{,}5\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{4},\qquad v_2=1{,}25\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{24}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 17 км. Путь из А в В занял у туриста 11 часов, из них 3 часа ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…
- 1
Пусть скорость туриста на подъёме равна $x$ км/ч. Тогда скорость на спуске равна $x+2$ км/ч.
- 2
На подъём турист затратил $11-3=8$ часов. Поэтому длина подъёма равна $8x$ км, а длина спуска — $3(x+2)$ км.
Ещё 3 шага — в полном решении
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 14 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 378 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…
- 1
Пусть расстояние в один конец равно $S$ км. Тогда общее расстояние составляет $2S$ км, а общее время движения равно сумме времён двух участков.$$t = \frac{S}{14} + \frac{S}{378}$$
- 2
Средняя скорость равна отношению всего пройденного пути ко всему времени.$$v_{\text{ср}} = \frac{2S}{\frac{S}{14} + \frac{S}{378}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Смешали некоторое количество 20-процентного раствора вещества с таким же количеством 16-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Пусть количество каждого раствора равно $m$. Тогда масса растворённого вещества в смеси равна $0{,}2m + 0{,}16m$, а масса смеси — $2m$.$$c = \dfrac{0{,}2m + 0{,}16m}{2m}$$
- 2
Вычислим концентрацию получившегося раствора.$$c = \dfrac{0{,}36m}{2m} = 0{,}18 = 18\%$$
В сосуд, содержащий 7 кг 26-процентного водного раствора вещества, добавили 6 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Найдём массу вещества в исходном растворе:$$m = 7 \cdot 0{,}26 = 1{,}82\ \text{кг}$$
- 2
После добавления воды масса раствора стала равна:$$M = 7 + 6 = 13\ \text{кг}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 25 % меди, второй — 5 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Масса первого сплава равна 30 кг. Найдите массу третьего…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(30+x)$ кг.$$m_3=30+x$$
- 2
Масса меди в первом и втором сплавах в сумме равна массе меди в третьем сплаве.$$0{,}25\cdot30+0{,}05x=0{,}20(30+x)$$
Ещё 2 шага — в полном решении