Список заданий викторины состоял из 40 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…
- 1
Обозначим через $x$ число правильных ответов, а через $y$ — число неправильных ответов. По условию участник набрал 171 очко:$$9x - 11y = 171$$
- 2
Ошибок хотя бы одна, поэтому $y \geq 1$. Кроме того, правильные и неправильные ответы занимают не более 40 вопросов: $x+y \leq 40$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 10. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 51 минуту…
- 1
Пусть в тесте $x$ вопросов. Время работы Пети равно $\dfrac{x}{8}$ часа, а время работы Вани — $\dfrac{x}{10}$ часа.
- 2
Переведём 51 минуту в часы: $51 : 60 = 0{,}85$ часа. По условию разность времени равна $0{,}85$ часа.$$\dfrac{x}{8} - \dfrac{x}{10} = 0{,}85$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Имеется два сплава. Первый содержит 5 % никеля, второй — 50 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35 % никеля. Масса первого сплава равна 65 кг. На сколько килограммов…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Масса никеля в первом сплаве составляет $0{,}05 \cdot 65$ кг, а во втором — $0{,}5x$ кг.$$0{,}05 \cdot 65 + 0{,}5x = 0{,}35(65+x)$$
- 2
Решим уравнение:$$3{,}25 + 0{,}5x = 22{,}75 + 0{,}35x$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Расстояние между городами A и B равно 610 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч…
- 1
За первые 3 часа первый автомобиль проехал:$$50 \cdot 3 = 150\ \text{км}$$
- 2
К моменту выезда второго автомобиля между автомобилями оставалось:$$610 - 150 = 460\ \text{км}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Государству принадлежит 75% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 16 млн рублей. Какая сумма из этой прибыли…
- 1
Определим долю акций, принадлежащих частным лицам:$$100\% - 75\% = 25\%$$
- 2
Вычислим сумму прибыли, которая приходится на частных акционеров:$$16 \cdot \frac{25}{100} = 4$$
В сосуд, содержащий 5 кг 16-процентного водного раствора вещества, добавили 3 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Найдём массу вещества в исходном растворе:$$m = 5 \cdot 0{,}16 = 0{,}8\ \text{кг}$$
- 2
После добавления воды масса вещества не изменится, а масса раствора станет равной:$$M = 5 + 3 = 8\ \text{кг}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 10 вопросов теста, а Ваня — на 24. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 70 минут…
- 1
Пусть в тесте $x$ вопросов. Время выполнения теста Петей равно $\dfrac{x}{10}$ часа, а Ваней — $\dfrac{x}{24}$ часа.
- 2
Петя затратил на выполнение на 70 минут больше. Переведём это время в часы: $70$ минут $= \dfrac{7}{6}$ часа.$$\frac{x}{10} - \frac{x}{24} = \frac{7}{6}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Расстояние между городами A и B равно 780 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. Найдите…
- 1
До места встречи второй автомобиль проехал расстояние от города B до точки встречи:$$780 - 330 = 450\text{ км}$$
- 2
Найдём время движения второго автомобиля:$$t_2 = \frac{450}{90} = 5\text{ ч}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Юля и Уля, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Уля — за 120 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Юля?
- 1
Пусть Юля одна пропалывает грядку за $x$ минут. Тогда её производительность равна $\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту, а производительность Ули — $\dfrac{1}{120}$ грядки в минуту.$$\frac{1}{x} + \frac{1}{120} = \frac{1}{24}$$
- 2
Вычтем производительность Ули из общей производительности.$$\frac{1}{x} = \frac{1}{24} - \frac{1}{120} = \frac{5-1}{120} = \frac{1}{30}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На столе лежали тетради для трёх учеников. Сначала пришёл первый, забрал треть всех тетрадей и ушёл. Следом пришёл второй и, не зная о том, что часть тетрадей уже забрали, взял треть лежавших на…
- 1
После ухода каждого ученика на столе остаётся две трети лежавших перед этим тетрадей.$$\dfrac{2}{3}$$
- 2
Пусть первоначально было $x$ тетрадей. После ухода трёх учеников осталось:$$x\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один мастер может выполнить некоторый заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
- 1
Первый мастер выполняет за один час $\dfrac{1}{36}$ заказа, а второй — $\dfrac{1}{12}$ заказа.$$\frac{1}{36} + \frac{1}{12}$$
- 2
Найдём совместную производительность мастеров.$$\frac{1}{36} + \frac{1}{12} = \frac{1}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10 % меди, второй — 50 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 15 % меди. Масса первого сплава равна 70 кг. Найдите массу третьего…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(70+x)$ кг.$$m_3=70+x$$
- 2
Составим уравнение по количеству меди в сплавах:$$0{,}1\cdot70+0{,}5x=0{,}15(70+x)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…
- 1
Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $q$ — стоимость 1 литра кваса.
- 2
По условию составим систему уравнений:$$b + q = 38,\quad b + 2q = 70$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Моторная лодка прошла против течения реки 99 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1…
- 1
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде через $v$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $v-1$, а по течению — $v+1$.$$v-1>0$$
- 2
Время движения против течения больше времени движения по течению на 2 часа.$$\frac{99}{v-1}-\frac{99}{v+1}=2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…
- 1
Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$.
- 2
По условию о набранных очках составляем уравнение:$$7x - 12y = 70$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 29 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в…
- 1
Найдём скорости теплохода по течению и против течения:$$v_{\text{по течению}}=29+1=30,\quad v_{\text{против течения}}=29-1=28$$
- 2
Пусть расстояние от исходного пункта до места стоянки равно $x$ км. Общее время состоит из времени движения по течению, стоянки и времени движения против течения:$$\dfrac{x}{30}+2+\dfrac{x}{28}=31$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Государству принадлежит 60 % акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 20 млн рублей. Какая сумма из этой прибыли…
- 1
Найдём долю акций, принадлежащую частным лицам:$$100\% - 60\% = 40\%$$
- 2
Вычислим сумму прибыли, которая должна пойти частным акционерам:$$20 \cdot 0{,}4 = 8$$
Смешали 4 кг 35-процентного раствора вещества с 11 кг 5-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Найдём массу вещества в первом растворе:$$m_1 = 4 \cdot 0{,}35 = 1{,}4\ \text{кг}$$
- 2
Найдём массу вещества во втором растворе:$$m_2 = 11 \cdot 0{,}05 = 0{,}55\ \text{кг}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 11 кусков, если по жёлтым — 6 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько…
- 1
Если после распиливания получается $n$ кусков, то распилов было на один меньше: $n-1$.
- 2
Количество красных, жёлтых и зелёных линий соответственно равно:$$(11-1)+(6-1)+(7-1)=10+5+6=21$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 150 км/ч, а последнюю — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…
- 1
Пусть длина всей трассы равна $S$. Каждый из трёх участков имеет длину $\frac{S}{3}$.
- 2
Общее время движения равно сумме времён на трёх участках:$$t = \frac{S/3}{30} + \frac{S/3}{150} + \frac{S/3}{100}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении