Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Средняя скорость автомобиля

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 80 км/ч, а последнюю — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…

1. 1
   Обозначим весь путь через $S$. Каждый из трёх участков имеет длину $S/3$.
2. 2
   Найдём общее время движения:$$t=\frac{S/3}{30}+\frac{S/3}{80}+\frac{S/3}{60}=\frac{S}{90}+\frac{S}{240}+\frac{S}{180}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…

1. 1
   Обозначим длину каждой трети пути через $S$. Тогда весь путь равен $3S$.
2. 2
   Найдём общее время движения:$$t=\frac{S}{30}+\frac{S}{120}+\frac{S}{40}=S\left(\frac{4}{120}+\frac{1}{120}+\frac{3}{120}\right)=\frac{S}{15}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали 4 кг 40-процентного раствора вещества с 10 кг 5-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Определим массу вещества в первом растворе:$$m_1 = 4 \cdot 0{,}4 = 1{,}6\ \text{кг}$$
2. 2
   Определим массу вещества во втором растворе:$$m_2 = 10 \cdot 0{,}05 = 0{,}5\ \text{кг}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 380 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Обозначим расстояние от начальной точки до места назначения через $S$. Путешественник проходит это расстояние дважды, поэтому весь путь равен $2S$.
2. 2
   Время движения туда на яхте равно $\dfrac{S}{20}$, а обратно на самолёте — $\dfrac{S}{380}$. Общее время: $\dfrac{S}{20} + \dfrac{S}{380}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 42 минуты, а третий — за 1 час 45 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы третьего насоса в минуты: $1$ час $45$ минут $=105$ минут.
2. 2
   Производительности насосов равны $\dfrac{1}{20}$, $\dfrac{1}{42}$ и $\dfrac{1}{105}$ бака в минуту.

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость первого автомобиля

Расстояние между городами A и B равно 380 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль…

1. 1
   До встречи второй автомобиль проехал расстояние $380 - 220 = 160$ км.$$s_2 = 380 - 220 = 160$$
2. 2
   Время движения второго автомобиля равно $160 : 80 = 2$ часа. Первый автомобиль выехал на 2 часа раньше, поэтому он находился в пути 4 часа.$$t_1 = 2 + 2 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость выполнения теста

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 12 вопросов теста, а Ваня — на 18. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 45 минут…

1. 1
   Пусть $x$ — количество вопросов в тесте. Петя выполняет тест за $\dfrac{x}{12}$ часа, а Ваня — за $\dfrac{x}{18}$ часа.$$\frac{x}{12},\quad \frac{x}{18}$$
2. 2
   Петя затратил на $45$ минут, или $\dfrac{3}{4}$ часа, больше времени, поэтому составим уравнение.$$\frac{x}{12}-\frac{x}{18}=\frac{3}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встреча на пути к лесу

Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,5 км от дома. Первый идёт со скоростью 2,3 км/ч, а второй — со скоростью 4,6 км/ч. Дойдя до опушки…

1. 1
   Пусть $x$ — расстояние от дома до места встречи. Первый человек проходит расстояние $x$, поэтому время его движения равно:$$t_1=\dfrac{x}{2{,}3}$$
2. 2
   Второй человек проходит до опушки 4,5 км и возвращается до точки с координатой $x$. Его общий путь равен $4{,}5+(4{,}5-x)=9-x$ км.$$t_2=\dfrac{9-x}{4{,}6}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость автомобиля из города A

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 320 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 170 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   Определим расстояние от города A до места встречи:$$s_A = 320 - 170 = 150\text{ км}$$
2. 2
   Вычислим скорость автомобиля, выехавшего из города A:$$v_A = \dfrac{s_A}{t} = \dfrac{150}{2} = 75\text{ км/ч}$$

Концентрация смеси растворов

Смешали 4 кг 20-процентного раствора вещества с 6 кг 35-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в первом растворе.$$m_1 = 4 \cdot 0{,}20 = 0{,}8\text{ кг}$$
2. 2
   Найдём массу вещества во втором растворе.$$m_2 = 6 \cdot 0{,}35 = 2{,}1\text{ кг}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 19 км. Путь из А в В занял у туриста 13 часов, из них 6 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…

1. 1
   Пусть скорость туриста на подъёме равна $x$ км/ч. Тогда скорость на спуске равна $x+1$ км/ч.
2. 2
   Время движения на подъёме составляет $13-6=7$ часов, поэтому расстояние на подъёме равно $7x$ км, а расстояние на спуске равно $6(x+1)$ км.

Ещё 3 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…

1. 1
   Обозначим длину каждой трети пути через $s$. Тогда весь путь равен $3s$.$$S=3s$$
2. 2
   Найдём общее время движения как сумму времени на трёх равных участках.$$t=\frac{s}{40}+\frac{s}{120}+\frac{s}{70}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 18 минут, второй — за 24 минуты, а третий — за 36 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Производительности насосов равны долям бака, которые они наполняют за одну минуту.$$\dfrac{1}{18},\quad \dfrac{1}{24},\quad \dfrac{1}{36}$$
2. 2
   При одновременной работе производительности складываются.$$\dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{4+3+2}{72} = \dfrac{9}{72} = \dfrac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость автомобиля из города A

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 420 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 255 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   Место встречи находится на расстоянии 255 км от города B, поэтому автомобиль из города A проехал:$$420 - 255 = 165\text{ км}$$
2. 2
   Автомобили ехали 3 часа, значит скорость автомобиля из города A равна:$$v = \dfrac{165}{3} = 55\text{ км/ч}$$

Совместная работа Даши и Маши

Даша и Маша, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Маша — за 33 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

1. 1
   Пусть Даша одна пропалывает грядку за $x$ минут. Тогда её производительность равна $\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту.$$\dfrac{1}{x}$$
2. 2
   Производительность Даши и Маши вместе равна $\dfrac{1}{24}$, а производительность Маши — $\dfrac{1}{33}$.$$\dfrac{1}{24}=\dfrac{1}{33}+\dfrac{1}{x}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Стоимость бутылки с квасом

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $x$ — стоимость 1 литра кваса.
2. 2
   По условию составим систему уравнений:$$\begin{cases} b+x=45, \\ b+2x=81. \end{cases}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Тетради для трёх учеников

На столе лежали тетради для трёх учеников. Сначала пришёл первый, забрал треть всех тетрадей и ушёл. Следом пришёл второй и, не зная о том, что часть тетрадей уже забрали, взял треть лежавших на…

1. 1
   После каждого ученика на столе оставалось две трети имевшихся тетрадей.$$\dfrac{2}{3}$$
2. 2
   Пусть первоначально на столе было $x$ тетрадей. После ухода трёх учеников осталось:$$x\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сплавы с разным содержанием никеля

Имеется два сплава. Первый содержит 20 % никеля, второй — 50 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 45 % никеля. Масса первого сплава равна 10 кг. На сколько килограммов…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Количество никеля в первом и втором сплавах составляет соответственно $0{,}2 \cdot 10$ и $0{,}5x$ кг.
2. 2
   В полученном сплаве массой $10+x$ кг содержится $45\%$ никеля, поэтому составим уравнение:$$0{,}2 \cdot 10 + 0{,}5x = 0{,}45(10+x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 35 минут, второй — за 1 час 24 минуты, а третий — за 1 час 45 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы второго и третьего насосов в минуты: $1$ час $24$ минуты $= 84$ минуты, $1$ час $45$ минут $= 105$ минут.
2. 2
   Производительность насосов равна соответственно $\dfrac{1}{35}$, $\dfrac{1}{84}$ и $\dfrac{1}{105}$ бака в минуту.

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 13 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 325 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние между пунктами равно $S$ км. Тогда весь путь путешественника составляет $2S$ км.$$s_{\text{общ}} = 2S$$
2. 2
   Время движения на яхте и самолёте соответственно равно:$$t_1 = \dfrac{S}{13},\quad t_2 = \dfrac{S}{325}$$

Ещё 2 шага — в полном решении