Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Наибольшее одинаковое число

Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.

1. 1
   Трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид $111a$, где $a$ — цифра от $1$ до $9$.$$111a$$
2. 2
   Разложим делитель и число на множители:$$74 = 2 \cdot 37, \qquad 111 = 3 \cdot 37$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число с заданными свойствами

Найдите четырёхзначное число, большее 1500, но меньшее 2000, которое делится на 24 и сумма цифр которого равна 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Искомое число лежит в диапазоне от 1501 до 1999 и имеет вид $1abc$. Сумма его цифр должна быть равна 24.
2. 2
   Число 1968 подходит по сумме цифр:$$1+9+6+8=24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Трёхзначное число с остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 9 даёт в остатке 1 и все цифры в записи которого нечётные. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как при делении на $4$ и на $9$ число даёт остаток $1$, оно должно иметь вид $36k+1$, поскольку $4$ и $9$ взаимно просты.$$n \equiv 1 \pmod{36}$$
2. 2
   Возьмём трёхзначное число $397$. Все его цифры нечётные: $3$, $9$ и $7$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшее число без девятки

Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 7.

1. 1
   Наибольшее трёхзначное число без цифры 9 — 888. Проверяем числа, начиная с него, в порядке убывания.
2. 2
   Число 882 делится на 7 без остатка:$$882 = 7 \cdot 126$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 2457. В ответе запишите какое-нибудь…

1. 1
   Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$. Так как оно кратно 5, его последняя цифра равна $0$ или $5$. После разворота число должно остаться четырёхзначным, поэтому $d=5$.$$N=1000a+100b+10c+5$$
2. 2
   Число, полученное разворотом цифр, равно $\overline{5cba}$. По условию их разность равна 2457.$$(1000a+100b+10c+5)-(5000+100c+10b+a)=2457$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Число с заданными свойствами

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр.

1. 1
   Пусть искомое число имеет вид $100a+10b+c$, где $a$, $b$, $c$ — его цифры. По условию средняя цифра является средним арифметическим крайних:$$b=\dfrac{a+c}{2},\quad 2b=a+c$$
2. 2
   Остатки при делении на $8$ и на $5$ равны. Общий ненулевой остаток может быть только одним из чисел $1$, $2$, $3$, $4$. Проверим число $963$, которое удовлетворяет условию на цифры:$$6=\dfrac{9+3}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число с заданными свойствами

Найдите натуральное число, большее 1000, но меньшее 1300, которое делится на 18 и сумма цифр которого равна 18. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Ищем число в диапазоне от 1000 до 1300 с суммой цифр 18. Число 1098 подходит: сумма его цифр равна$$1+0+9+8=18$$
2. 2
   Число 1098 делится на 18, поскольку оно делится на 2 и на 9: последняя цифра чётная, а сумма цифр равна 18.$$1098:18=61$$

Число с заданными остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 5, и на 6 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе запишите…

1. 1
   Обозначим искомое число через $n$. Тогда числа $n-1$ должно делиться на 4, 5 и 6.
2. 2
   Наименьшее общее кратное чисел 4, 5 и 6 равно 60, поэтому $n-1$ кратно 60, а $n=60k+1$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Итоговая отметка по произведению

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители, соответствующие пяти отметкам. Так как каждая отметка является цифрой от 2 до 5, подходит разложение$$5825 = 5 \cdot 5 \cdot 233$$
2. 2
   Следовательно, пять последовательных отметок Пети: $5$, $5$, $2$, $3$, $3$.$$5+5+2+3+3=18$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 3456. Укажите какое-нибудь одно такое…

1. 1
   Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$. Так как оно кратно 5, его последняя цифра равна 0 или 5. После разворота должно получиться четырёхзначное число, поэтому последняя цифра исходного числа не может быть равна 0. Значит…
2. 2
   Разность числа и числа, записанного в обратном порядке, равна:$$\overline{abcd}-\overline{dcba}=999(a-d)+90(b-c)=3456$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число кратное 12

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим условие кратности 12 на признаки делимости на 3 и на 4.$$12=3\cdot4$$
2. 2
   Проверим число 4512: произведение его цифр равно 40.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число и цифры

Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 1, 2, 6, 7, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 2, 3, 4, 5. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$. В ответ запишите какое-нибудь одно такое число…

1. 1
   Так как число $A$ больше 1500 и состоит из цифр 1, 2, 6, 7, достаточно проверить подходящие перестановки этих цифр.
2. 2
   Число $A = 1726$ удовлетворяет условию: при умножении на 2 получается четырёхзначное число, составленное из цифр 2, 3, 4, 5.$$2A = 2 \cdot 1726 = 3452$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество вопросов в тесте

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 15 вопросов теста, а Ваня — на 24. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 105…

1. 1
   Пусть тест содержит $x$ вопросов. Время работы Пети равно $\dfrac{x}{15}$ часа, а время работы Вани — $\dfrac{x}{24}$ часа.
2. 2
   Переведём 105 минут в часы: $105 : 60 = \dfrac{7}{4}$ часа. По условию разность времён равна $\dfrac{7}{4}$ часа.$$\dfrac{x}{15} - \dfrac{x}{24} = \dfrac{7}{4}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость пешехода

Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми 36 км, навстречу друг другу. Они встретились через 2 часа. Скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости…

1. 1
   Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Тогда скорость велосипедиста равна $x+8$ км/ч.$$v_{\text{п}}=x,\quad v_{\text{в}}=x+8$$
2. 2
   За 2 часа пешеход и велосипедист вместе преодолели расстояние 36 км.$$2x+2(x+8)=36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встреча автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 610 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч…

1. 1
   Пусть первый автомобиль ехал до встречи $t$ часов. Второй автомобиль выехал на час позже, поэтому он ехал $t - 1$ часов.
2. 2
   Сумма пройденных автомобилями расстояний равна расстоянию между городами.$$50t + 90(t - 1) = 610$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 13 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число ошибок. По условию ученик набрал 56 очков:$$7x - 13y = 56$$
2. 2
   Так как хотя бы один ответ был неправильным, $y \geq 1$. Из уравнения получаем:$$7x = 56 + 13y$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сплавы с разным содержанием меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 40 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Масса первого сплава равна 60 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(60+x)$ кг.$$m_3=60+x$$
2. 2
   Масса меди в первом и втором сплавах равна массе меди в третьем сплаве.$$0{,}05\cdot60+0{,}4x=0{,}1(60+x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 5 кг 27-процентного водного раствора вещества, добавили 4 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Определим массу растворённого вещества в исходном растворе:$$m_\text{вещества}=5\cdot 0{,}27=1{,}35\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса вещества остаётся равной $1{,}35$ кг, а масса раствора становится:$$m_\text{раствора}=5+4=9\ \text{кг}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Верные ответы в викторине

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Тогда количество набранных очков выражается уравнением:$$7x - 10y = 42$$
2. 2
   Так как всего было 25 вопросов, имеем $x+y\leqslant25$, а по условию $y\geqslant1$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Встречное движение автомобилей

Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 500 км. Из города $A$ в город $B$ выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города $B$ выехал со скоростью 80 км/ч второй…

1. 1
   В момент встречи второй автомобиль проехал расстояние от города $B$ до точки встречи:$$500 - 260 = 240\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём время движения второго автомобиля:$$t_2 = \dfrac{240}{80} = 3\ \text{ч}$$

Ещё 2 шага — в полном решении