Задание 10 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Площадь прямоугольной комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 15,2 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3 м, а длина 5,1 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Вычислим точную площадь прямоугольной комнаты.$$S = ab = 3 \cdot 5{,}1 = 15{,}3\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём, на сколько точная площадь отличается от площади на плане.$$\lvert 15{,}3 - 15{,}2 \rvert = 0{,}1\ \text{м}^2$$

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 25 м и 50 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(25 + 50) = 150\ \text{м}$$
2. 2
   Так как в заборе предусмотрен проезд шириной 3 м, вычтем эту длину из периметра:$$150 - 3 = 147\ \text{м}$$

Площадь оставшейся части участка

Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 20 м на 30 м с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью 280 квадратных метров, причём граница участков проходит точно…

1. 1
   Найдём площадь прямоугольного участка одного садовода.$$S_{\text{участка}} = 20 \cdot 30 = 600\ \text{м}^2$$
2. 2
   Граница участков проходит через центр пруда, поэтому каждый садовод использует половину площади пруда.$$S_{\text{пруда на участке}} = \frac{280}{2} = 140\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $2{,}7$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб проходит через середину наклонной стороны треугольной горки и параллелен её высоте. Поэтому образуется средняя линия, а высота столба равна половине высоты горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{2{,}7}{2} = 1{,}35$$

Высота фонаря по тени

Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

1. 1
   Рассмотрим большой треугольник с высотой фонаря и малый треугольник с высотой человека. Они подобны.$$H:25=1{,}6:8$$
2. 2
   Расстояние от фонаря до конца тени равно сумме расстояния до человека и длины тени.$$25=17+8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина ограждения участка

Участок земли для строительства санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 800 м и 400 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить…

1. 1
   Сторона длиной 800 м проходит вдоль моря, поэтому её ограждать не нужно.
2. 2
   Забор устанавливают на одной стороне длиной 800 м и на двух сторонах длиной по 400 м.$$L = 800 + 2 \cdot 400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 35 м и 40 м. Дом, расположенный на участке, на плане также имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 7 м и 6 м. Найдите…

1. 1
   Найдём площадь всего дачного участка.$$S_{\text{участка}} = 35 \cdot 40 = 1400\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома.$$S_{\text{дома}} = 7 \cdot 6 = 42\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 31,5 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 5,3 м, а длина 6 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Вычислим площадь комнаты по точным измерениям:$$S = 5{,}3 \cdot 6 = 31{,}8\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём, на сколько квадратных метров эта площадь отличается от указанной на плане:$$\left|31{,}8 - 31{,}5\right| = 0{,}3\ \text{м}^2$$

Угол между спицами

Колесо имеет 6 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла в градусах, который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Шесть одинаковых углов между соседними спицами составляют полный угол вокруг центра колеса.$$6\alpha = 360^\circ$$
2. 2
   Найдём величину одного угла:$$\alpha = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$$

Расстояние до фонаря

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, а высота фонаря равна 4 м?

1. 1
   Большой треугольник образован фонарём и всей длиной от фонаря до конца тени, равной $x+9$. Малый треугольник образован человеком и его тенью длиной $9$ м. Эти треугольники подобны.$$\frac{4}{x+9}=\frac{1{,}8}{9}$$
2. 2
   Решим пропорцию:$$4\cdot 9=1{,}8(x+9)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь комнаты по плану

Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры $3\ \text{м} \times 4\ \text{м}$, санузел — $1{,}5\ \text{м} \times 2\ \text{м}$, длина коридора…

1. 1
   По чертежу общая ширина квартиры складывается из ширины санузла и длины коридора:$$1{,}5 + 6 = 7{,}5\ \text{м}$$
2. 2
   Ширина кухни равна $3$ м, поэтому ширина комнаты составляет:$$7{,}5 - 3 = 4{,}5\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму квадрата, сторона которого равна 30 м. Дом, расположенный на участке, имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 8 м и 5 м. Найдите площадь части участка, не…

1. 1
   Найдём площадь квадратного участка.$$S_{\text{участка}} = 30^2 = 900\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома прямоугольной формы.$$S_{\text{дома}} = 8 \cdot 5 = 40\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Движение концов журавля

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 7 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

1. 1
   При повороте журавля перемещения концов плеч пропорциональны длинам плеч.$$\dfrac{x}{1} = \dfrac{7}{2}$$
2. 2
   Найдём перемещение конца длинного плеча:$$x = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$$

Высота столба по проводу

От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Найдите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ дайте в…

1. 1
   Разность между высотой столба и высотой крепления провода образует катет прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:$$h^2 + 8^2 = 10^2$$
2. 2
   Найдём этот катет:$$h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Плитки для облицовки стены

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 3 м?

1. 1
   Переведём сторону плитки из сантиметров в метры: $20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м}$.$$0{,}2\ \text{м}$$
2. 2
   Найдём площадь стены.$$S_{\text{стены}} = 3{,}4 \cdot 3 = 10{,}2\ \text{м}^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь окрашенных ступеней

Несколько ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 35 см, высота — 20 см, а ширина…

1. 1
   На рисунке изображены 5 ступеней. Для каждой ступени окрашены горизонтальная и вертикальная поверхности.
2. 2
   Площадь окрашенной поверхности одной ступени равна:$$S_1 = 90(35+20)=90\cdot55=4950$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Паркетные дощечки для пола

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5 м и 8 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 40 см. Сколько потребуется таких дощечек?

1. 1
   Найдём площадь пола комнаты:$$S_{\text{пола}}=5\cdot 8=40\ \text{м}^2$$
2. 2
   Переведём размеры дощечки в метры и найдём её площадь:$$5\ \text{см}=0{,}05\ \text{м},\quad 40\ \text{см}=0{,}4\ \text{м},\quad S_{\text{дощечки}}=0{,}05\cdot 0{,}4=0{,}02\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $2{,}8$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб расположен посередине наклонной части горки, поэтому его высота равна половине высоты горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{2{,}8}{2} = 1{,}4$$

Площадь санузла по плану

Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Комната имеет размеры 5 м × 3,5 м, коридор — 1,5 м × 6,5 м, длина кухни 3,5 м. Найдите площадь санузла (в квадратных метрах).

1. 1
   Общие размеры квартиры равны $3{,}5 + 5 = 8{,}5$ м и $3{,}5 + 1{,}5 = 5$ м. Найдём площадь всей квартиры.$$S_{\text{кв}} = 8{,}5 \cdot 5 = 42{,}5$$
2. 2
   Вычислим площади комнаты, кухни и коридора.$$S_{\text{комн}} = 5 \cdot 3{,}5 = 17{,}5;\quad S_{\text{кух}} = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25;\quad S_{\text{кор}} = 6{,}5 \cdot 1{,}5 = 9{,}75$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина транспортёра

Между зданиями завода и склада, находящимися друг от друга на расстоянии 15 м, для подачи материалов и готовых изделий установлен уличный автоматический транспортёр. Края креплений транспортёра…

1. 1
   Разность высот креплений равна:$$12 - 4 = 8\text{ м}$$
2. 2
   Расстояние между зданиями и разность высот образуют катеты прямоугольного треугольника, а транспортёр является его гипотенузой.$$l = \sqrt{15^2 + 8^2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении