Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Количество паркетных дощечек

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?

1. 1
   Переведём размеры дощечки из сантиметров в метры: 10 см = 0,1 м, 20 см = 0,2 м.$$10\ \text{см}=0{,}1\ \text{м},\quad 20\ \text{см}=0{,}2\ \text{м}$$
2. 2
   Найдём площадь пола комнаты.$$S_\text{комнаты}=7\cdot9=63\ \text{м}^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие площадей и значений

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

1. 1
   Площадь монитора компьютера может быть около $1020$ кв. см.
2. 2
   Площадь Санкт-Петербурга измеряется тысячами квадратных километров, поэтому ей соответствует $1439$ кв. км.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площади объектов

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

1. 1
   Площадь футбольного поля обычно составляет несколько тысяч квадратных метров, поэтому ей соответствует значение $7000\ \text{м}^2$ — номер 4.
2. 2
   Площадь почтовой марки невелика и измеряется в сотнях квадратных миллиметров, поэтому ей соответствует $165\ \text{мм}^2$ — номер 3.

Ещё 2 шага — в полном решении

Расстояние по масштабу карты

Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 5,5 км. Чему равно расстояние между городами (в км), если на карте оно составляет 2 см?

1. 1
   Расстояние между городами в действительности равно расстоянию на карте, умноженному на количество километров в одном сантиметре.$$2 \cdot 5{,}5$$
2. 2
   Вычисляем расстояние:$$2 \cdot 5{,}5 = 11$$

Соответствие площадей и значений

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями.

1. 1
   Площадь волейбольной площадки соответствует значению 162 кв. м.$$А \to 1$$
2. 2
   Площадь тетрадного листа может быть около 600 кв. см.$$Б \to 2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c=\dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису $l_c$…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{6+9}\sqrt{6\cdot9\left((6+9)^2-(5\sqrt{3})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$6\cdot9\left(15^2-75\right)=54\cdot150=8100$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади:$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 6}{3 \cdot 8} = \dfrac{12}{24} = 0{,}5$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 13…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{13+30+37}{2} = 40$$
2. 2
   Применим формулу Герона:$$S = \sqrt{40(40-13)(40-30)(40-37)} = \sqrt{40 \cdot 27 \cdot 10 \cdot 3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим значения $a$, $b$ и $c$ в формулу радиуса:$$r = \dfrac{44+117-125}{2}$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$r = \dfrac{36}{2} = 18$$

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения сторон и радиуса в формулу площади:$$S = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 17}{4 \cdot \frac{85}{8}}$$
2. 2
   Упростим числитель и знаменатель:$$S = \dfrac{1530}{\frac{340}{8}} = \dfrac{1530}{42{,}5} = 36$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим данные в формулу радиуса:$$r = \dfrac{57+176-185}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение числителя и разделим на 2:$$r = \dfrac{48}{2} = 24$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$R = \dfrac{14}{2 \cdot \frac{1}{7}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$R = \dfrac{14}{\frac{2}{7}} = 14 \cdot \frac{7}{2} = 49$$

Синус угла по теореме синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим синус угла $\alpha$ из теоремы синусов.$$\sin \alpha=\frac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha=\frac{13\cdot\frac{1}{26}}{5}=\frac{1}{10}=0{,}1$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $r$ — радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим в формулу значения $a$, $c$, $S$ и $r$:$$12\sqrt{5} = \dfrac{(7+b+9)\sqrt{5}}{2}$$
2. 2
   Сократим обе части равенства на $\sqrt{5}$ и умножим на 2:$$24 = 16+b$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 5…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{5+122+123}{2} = 125$$
2. 2
   Подставим длины сторон и найденный полупериметр в формулу Герона:$$S = \sqrt{125(125-5)(125-122)(125-123)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 4$…

1. 1
   Подставим значения $a = 4$, $b = 7$ и $c = 9$ в формулу:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 7^2 - 9^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 7^2 - 9^2 = 32 + 98 - 81 = 49$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 2$…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 2^2 + 2 \cdot (\sqrt{6})^2 - 4^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 2^2 + 2 \cdot (\sqrt{6})^2 - 4^2 = 8 + 12 - 16 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим сторону $a$:$$a=b\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a=9\cdot\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=9\cdot\frac{1}{3}=3$$

Площадь треугольника по радиусу

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения $a$, $b$, $c$ и $R$ в формулу площади:$$S = \dfrac{12 \cdot 17 \cdot 25}{4 \cdot \frac{85}{6}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$S = \dfrac{5100}{\frac{170}{3}} = 90$$

Тангенс угла второй четверти

Найдите $\tg \alpha$, если $\cos \alpha = -\dfrac{5}{\sqrt{34}}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

1. 1
   Угол $\alpha$ находится во второй четверти, поэтому $\sin\alpha > 0$, а $\cos\alpha < 0$.
2. 2
   По основному тригонометрическому тождеству найдём синус:$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{34} = \frac{9}{34},\quad \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{34}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении