Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Неравенства и системы» — с ответами

Окупаемость установки счётчиков

Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 2100 рублей. До установки счётчиков за воду платили 1600 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала…

1. 1
   Найдём ежемесячную экономию на оплате воды:$$1600 - 1200 = 400$$
2. 2
   Экономия за $n$ месяцев должна превысить стоимость установки счётчиков:$$400n > 2100$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Максимальное давление во вторник

На рисунке показано изменение атмосферного давления в течение трёх суток. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба). Определите…

1. 1
   На графике выделяем участок, соответствующий вторнику.
2. 2
   Самая высокая точка графика на этом участке находится на уровне 755 мм рт. ст.

Сумки в ручную кладь

В таблице приведены данные о шести сумках. По правилам авиакомпании в ручную кладь может быть взята сумка, размеры которой не превышают 55 см в длину, 40 см в высоту, 20 см в ширину и масса которой…

1. 1
   Сравним характеристики каждой сумки с ограничениями: длина не более 55 см, высота не более 40 см, ширина не более 20 см, масса не более 10 кг.
2. 2
   Сумка 1 подходит: $52 \leq 55$, $38 \leq 40$, $15 \leq 20$, $8{,}5 \leq 10$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Выбор пылесоса по таблице

Алексею нужен пылесос. В таблице представлено 6 предложений от разных магазинов и указана их удалённость от дома Алексея. Алексей хочет купить пылесос в магазине, который находится не дальше 1,5 км…

1. 1
   Выбираем магазины, расположенные не дальше 1,5 км от дома Алексея: магазины 3, 4 и 6.$$0{,}9 \leq 1{,}5;\quad 1{,}1 \leq 1{,}5;\quad 1{,}4 \leq 1{,}5$$
2. 2
   Сравниваем стоимость пылесосов в этих магазинах: 5350, 5115 и 5110 рублей. Наименьшая стоимость — 5110 рублей.$$\min(5350, 5115, 5110) = 5110$$

Отбор чемоданов по правилам

В таблице приведены данные о шести чемоданах. По правилам авиакомпании сумма трёх измерений (длина, высота, ширина) чемодана, сдаваемого в багаж, не должна превышать 203 см, а масса не должна быть…

1. 1
   Проверим чемодан 1: сумма измерений равна $107+52+41=200$ см, масса равна 22 кг. Чемодан подходит.$$200 \leq 203,\quad 22 \leq 23$$
2. 2
   Для чемодана 2 сумма измерений равна $96+63+49=208$ см, поэтому он не подходит.

Ещё 4 шага — в полном решении

Выбор подходящих факультетов

В таблице 1 приведены минимальные баллы ЕГЭ по четырём предметам, необходимые для подачи документов на факультеты 1–6. В таблице 2 приведены данные о баллах ЕГЭ по четырём предметам абитуриента А…

1. 1
   Сравним баллы абитуриента А с требованиями факультета 1: 75 ≥ 39, 88 ≥ 40, 48 ≥ 39, 45 ≥ 45. Факультет 1 подходит.$$75\geq39,\quad 88\geq40,\quad 48\geq39,\quad 45\geq45$$
2. 2
   Для факультета 2 не выполнено требование по химии: 45 < 50. Для факультета 3 не выполнено требование по физике: 48 < 51. Для факультета 4 не выполнено требование по математике и физике: 75 ≥ 60, но 48 < 60. Для факультета 5 не выполнено…$$45<50,\quad 48<51,\quad 48<60,\quad 48<55$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Свойства функций на отрезке

Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций на отрезке $[0; 6]$.

1. 1
   Функция А является линейной. Коэффициент при $x$ положителен, поэтому функция возрастает на всём отрезке.$$y' = 2 > 0$$
2. 2
   Для функции Б найдём дискриминант квадратного трёхчлена. Он отрицателен, а старший коэффициент положителен, поэтому функция принимает положительные значения при всех $x$, в том числе на отрезке $[0; 6]$.$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -11 < 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сравнение возраста девочек

Ира младше Алисы, но старше Оли. Лена не младше Оли. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   Из условия «Ира младше Алисы, но старше Оли» получаем цепочку: Алиса старше Иры, а Ира старше Оли.$$Алиса > Ира > Оля$$
2. 2
   Следовательно, Алиса старше Оли, поэтому утверждение 3 верно.

Ещё 2 шага — в полном решении

Сравнение массы животных

При взвешивании животных в зоопарке выяснилось, что жираф тяжелее верблюда, верблюд тяжелее тигра, а леопард легче верблюда. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   Обозначим массы животных: жираф тяжелее верблюда, верблюд тяжелее тигра, а леопард легче верблюда.$$m_{\text{жирафа}} > m_{\text{верблюда}} > m_{\text{тигра}},\quad m_{\text{леопарда}} < m_{\text{верблюда}}$$
2. 2
   Так как жираф тяжелее верблюда, а леопард легче верблюда, жираф тяжелее леопарда. Утверждение 2 верно.

Ещё 2 шага — в полном решении

Сравнение возрастов людей

Оля младше Алисы, но старше Иры. Лена не младше Иры. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   Из условия «Оля младше Алисы, но старше Иры» получаем цепочку возрастов: Алиса старше Оли, а Оля старше Иры.$$Алиса > Оля > Ира$$
2. 2
   Лена не младше Иры, поэтому среди указанных людей нет человека младше Иры.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина рыбок в аквариуме

В зоомагазине в один из аквариумов запустили 16 рыбок. Длина каждой рыбки больше 3 см, но не превышает 15 см. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   По условию длина каждой рыбки больше 3 см и не превышает 15 см: $3 < L \leq 15$.
2. 2
   Утверждение 1 неверно, поскольку длина каждой рыбки больше 3 см.

Ещё 3 шага — в полном решении

Сравнение цен покупок

Школа приобрела стол, доску, видеопроектор и принтер. Известно, что принтер дороже видеопроектора, а доска дешевле видеопроектора и дешевле стола. Выберите все утверждения, которые верны при…

1. 1
   Обозначим стоимости доски, видеопроектора, принтера и стола буквами $d$, $v$, $p$ и $s$ соответственно. По условию: $p > v$, $d < v$ и $d < s$.$$d < v < p,\quad d < s$$
2. 2
   Из цепочки $d < v < p$ следует, что принтер дороже доски. Утверждение 2 верно.$$p > d$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сравнение веса кошек

Кошка Китти весит на 3 килограмма больше кошки Машки, а кошка Лада — на полтора килограмма легче кошки Машки. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   Обозначим вес Машки через $m$ килограммов. Тогда вес Китти равен $m + 3$, а вес Лады — $m - 1{,}5$.$$K = m + 3,\quad L = m - 1{,}5$$
2. 2
   Из полученных выражений следует порядок весов: Лада легче Машки, а Машка легче Китти.$$L < M < K$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Сравнение стоимости покупок

Хозяйка к празднику купила морс, мороженое, крабовые палочки и рыбу. Мороженое стоило дороже крабовых палочек, но дешевле рыбы, морс стоил дешевле мороженого. Выберите все утверждения, которые верны…

1. 1
   Обозначим стоимости товаров: морса — $M$, мороженого — $I$, крабовых палочек — $K$, рыбы — $F$.
2. 2
   По условию получаем неравенства:$$K < I < F,\quad M < I$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Оценка высоты домов

В посёлке городского типа всего 20 жилых домов. Высота каждого дома меньше 25 метров, но не меньше 4 метров. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   Из условия высота каждого жилого дома удовлетворяет неравенству $4 \leq h < 25$.$$4 \leq h < 25$$
2. 2
   Утверждение 1 неверно: высота 30 метров больше 25 метров и противоречит условию.

Ещё 3 шага — в полном решении

Сравнение массы животных

При взвешивании животных в зоопарке выяснилось, что жираф тяжелее верблюда, верблюд тяжелее тигра, а леопард легче верблюда. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   Обозначим массы животных: $m_ж$ — масса жирафа, $m_в$ — масса верблюда, $m_т$ — масса тигра, $m_л$ — масса леопарда.$$m_ж > m_в > m_т,\quad m_в > m_л$$
2. 2
   Так как жираф тяжелее верблюда, а верблюд тяжелее леопарда, жираф тяжелее леопарда.$$m_ж > m_в > m_л$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Рост волейболистов команды

Перед волейбольным турниром измерили рост игроков волейбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из волейболистов этой команды больше 190 см и меньше 210 см. Выберите все утверждения…

1. 1
   Из условия для роста каждого волейболиста $h$ следует двойное неравенство:$$190 < h < 210$$
2. 2
   Утверждение 1 неверно: рост 220 см не удовлетворяет условию $h < 210$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Сравнение этажности домов

В доме Кати больше этажей, чем в доме Оксаны, в доме Толи меньше этажей, чем в доме Оксаны, а в доме Феди больше этажей, чем в Толином доме.

1. 1
   Обозначим этажность домов Кати, Оксаны, Толи и Феди буквами $K$, $O$, $T$ и $F$ соответственно. По условию:$$K > O,\quad T < O,\quad F > T$$
2. 2
   Из неравенств $T < O$ и $O < K$ получаем цепочку:$$T < O < K$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Сравнение стоимости покупок

Хозяйка к празднику купила морс, мороженое, крабовые палочки и рыбу. Мороженое стоило дороже крабовых палочек, но дешевле рыбы, морс стоил дешевле мороженого. Выберите все утверждения, которые верны…

1. 1
   Обозначим стоимости морса, мороженого, крабовых палочек и рыбы соответственно через $m$, $i$, $c$ и $f$.
2. 2
   По условию имеем цепочку сравнений: морс дешевле мороженого, крабовые палочки дешевле мороженого, а мороженое дешевле рыбы.$$m < i,\quad c < i < f$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Сравнение стоимости покупок

Фирма приобрела стол, стеллаж, проектор и ксерокс. Известно, что стол дороже стеллажа, а ксерокс дешевле проектора и дешевле стеллажа. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   Обозначим стоимости стола, стеллажа, проектора и ксерокса соответственно через $s$, $r$, $p$ и $x$. Из условия получаем:$$s > r,\quad x < p,\quad x < r$$
2. 2
   Поскольку $s > r$ и $r > x$, то по свойству транзитивности неравенств $s > x$. Утверждение 1 верно.$$s > r > x \Rightarrow s > x$$

Ещё 2 шага — в полном решении