Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Неравенства и системы» — с ответами

Рост баскетболистов команды

Перед баскетбольным турниром измерили рост игроков баскетбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из баскетболистов этой команды больше 185 см и меньше 210 см. Выберите все утверждения…

1. 1
   Обозначим рост любого игрока через $h$. По условию $185 < h < 210$.
2. 2
   Утверждение 1 верно: рост 184 см не может принадлежать промежутку $185 < h < 210$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Рост игроков баскетбольной команды

Перед баскетбольным турниром измерили рост игроков баскетбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из баскетболистов этой команды больше 180 см и меньше 197 см. Выберите все утверждения…

1. 1
   Обозначим рост игрока через $h$. По условию для каждого игрока выполняется неравенство:$$180 < h < 197$$
2. 2
   Утверждение 1 неверно: условие не требует наличия игрока ростом $200$ см, более того, такой рост невозможен.

Ещё 3 шага — в полном решении

Рост игроков футбольной команды

Перед футбольным турниром измерили рост игроков футбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из футболистов этой команды больше 170 см и меньше 190 см. Выберите все утверждения, которые…

1. 1
   Из условия следует, что рост каждого игрока удовлетворяет неравенству:$$170 < h < 190$$
2. 2
   Утверждение 1 неверно: рост 160 см не удовлетворяет условию $h > 170$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Сравнение цен покупок

Хозяйка к празднику купила торт, ананас, сок и мясную нарезку. Торт стоил дороже ананаса, но дешевле мясной нарезки, сок стоил дешевле торта. Выберите все утверждения, которые верны при указанных…

1. 1
   Обозначим цены ананаса, торта, мясной нарезки и сока соответственно через $a$, $t$, $m$ и $s$. Из условия получаем:$$a < t < m,\quad s < t$$
2. 2
   Так как $a < t$ и $t < m$, то по свойству транзитивности неравенств $a < m$. Утверждение 1 верно.$$a < t < m \Rightarrow a < m$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Рост игроков футбольной команды

Перед футбольным турниром измерили рост игроков футбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из футболистов этой команды больше 172 см и меньше 192 см. Выберите все утверждения, которые…

1. 1
   Обозначим рост футболиста через $h$. По условию для каждого игрока выполняется неравенство:$$172 < h < 192$$
2. 2
   Рост $170$ см не удовлетворяет условию $h > 172$, поэтому игроков ростом $170$ см в команде нет. Утверждение 2 верно.

Ещё 2 шага — в полном решении

Сравнение возраста людей

Виктор старше Дениса, но младше Егора. Андрей не старше Виктора. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1. 1
   Из условия получаем: Виктор старше Дениса, а Егор старше Виктора.$$Денис < Виктор < Егор$$
2. 2
   Следовательно, Егор старше Дениса и Виктора. Кроме того, Андрей не старше Виктора, поэтому Егор также старше Андрея. Егор — самый старший из четырёх человек.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Похвальные грамоты по баллам

В таблице даны результаты олимпиад по физике и химии в 9 «А» классе. Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 110 или хотя бы по одному предмету…

1. 1
   Находим учеников, набравших по физике меньше 60 баллов: это ученики 3, 7 и 8.
2. 2
   Ученик 3 получает грамоту, так как по химии набрал 100 баллов, то есть хотя бы по одному предмету набрано не меньше 60 баллов.

Ещё 3 шага — в полном решении

Сравнение этажности домов

В доме Кости больше этажей, чем в доме Олега, в доме Тани меньше этажей, чем в доме Олега, а в доме Феди больше этажей, чем в Танином доме. Выберите все утверждения, которые верны при указанных…

1. 1
   Обозначим количество этажей в домах Кости, Олега, Тани и Феди буквами $K$, $O$, $T$ и $F$. Из условия получаем: $K > O$, $T < O$ и $F > T$.$$K > O > T, \quad F > T$$
2. 2
   Дом Тани ниже дома Олега, а дом Олега ниже дома Кости. Также дом Феди выше дома Тани. Значит, дом Тани имеет меньше этажей, чем каждый из трёх остальных домов.$$T < K, \quad T < O, \quad T < F$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Анализ утверждений о высоте

В посёлке городского типа всего 17 жилых домов. Высота каждого дома меньше 25 метров, но больше 5 метров. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   По условию высота каждого жилого дома удовлетворяет неравенству:$$5 < h < 25$$
2. 2
   Утверждение 1 неверно: высота 30 метров больше 25 метров и не соответствует условию.

Ещё 3 шага — в полном решении

Сравнение количества медалей

На соревнованиях сборная Канады завоевала медалей больше, чем сборная Нидерландов, сборная Бельгии — меньше, чем сборная Нидерландов, а сборная Швейцарии — меньше, чем сборная Канады. Выберите все…

1. 1
   Обозначим количество медалей у сборных. Из условия получаем: у Канады медалей больше, чем у Нидерландов; у Бельгии меньше, чем у Нидерландов; у Швейцарии меньше, чем у Канады.$$K > N > B,\quad K > S$$
2. 2
   Так как Канада завоевала больше медалей, чем Нидерланды, а Нидерланды — больше, чем Бельгия, Канада завоевала больше медалей, чем Бельгия.$$K > N > B \Rightarrow K > B$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сравнение цен покупок

Школа приобрела стол, доску, компьютер и принтер. Известно, что принтер дороже компьютера, а доска дешевле компьютера и дешевле стола. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   Обозначим цены доски, компьютера, принтера и стола соответственно через $d$, $c$, $p$ и $s$. По условию:$$p>c>d,\quad s>d$$
2. 2
   Так как $p>c$ и $c>d$, то принтер дороже доски. Утверждение 2 верно.$$p>d$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сравнение стоимости покупок

Фирма приобрела стеллаж, стол, проектор и ксерокс. Известно, что стеллаж дороже стола, а ксерокс дешевле стола и дешевле проектора. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   Обозначим стоимости стеллажа, стола, проектора и ксерокса через $s$, $t$, $p$ и $k$ соответственно.$$s>t,\quad k<t,\quad k<p$$
2. 2
   Из неравенств $s>t$ и $t>k$ следует, что стеллаж дороже ксерокса.$$s>t>k\Rightarrow s>k$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сравнение цен покупок

Хозяйка к празднику купила торт, манго, лимонад и мясную нарезку. Торт стоил дороже манго, но дешевле мясной нарезки, лимонад стоил дешевле торта.

1. 1
   Обозначим цены покупок: манго — $m$, торт — $t$, лимонад — $l$, мясная нарезка — $n$.
2. 2
   По условию торт дороже манго, но дешевле мясной нарезки, а лимонад дешевле торта:$$m < t < n,\quad l < t$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Соответствие неравенств решениям

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А найдём корни квадратного трёхчлена:$$x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$$
2. 2
   Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями:$$x \le 2 \text{ или } x \ge 5$$

Ещё 6 шагов — в полном решении

Соответствие решений неравенств

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями $3$ и $6$.$$(x-3)(x-6)<0 \Longrightarrow 3<x<6$$
2. 2
   В неравенстве Б знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x\ne3$. Квадрат числителя положителен при $x\ne6$, а дробь положительна при $x>3$; точку $x=6$ нужно исключить.$$\dfrac{(x-6)^2}{x-3}>0 \Longrightarrow 3<x<6 \text{ или } x>6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие неравенств и решений

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Так как основание логарифма $4>1$, неравенство $\log_{4}x>0$ равносильно $x>4^0$ с учётом области определения $x>0$.$$x>1$$
2. 2
   Представим $16$ как степень числа $4$. Поскольку основание $4>1$, сравниваем показатели.$$4^{-x+7}>4^2\Longrightarrow -x+7>2\Longrightarrow x<5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие чисел и отрезков

Число $m$ равно $\sqrt{0{,}15}$. Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.

1. 1
   Вычислим приближённое значение числа $m$:$$m=\sqrt{0{,}15}\approx0{,}387$$
2. 2
   Для пункта А получаем отрицательное число, примерно равное $-2{,}58$:$$-\dfrac{1}{m}\approx-\dfrac{1}{0{,}387}\approx-2{,}58\in[-3;-2]$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Соответствие чисел точкам

На числовой прямой отмечены числа $m$ и $n$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   По числовой прямой видно, что $1<m<n<2$.
2. 2
   Разность $m-n$ отрицательна, поэтому ей соответствует точка $A$, расположенная левее нуля. Это число 2.

Ещё 3 шага — в полном решении

Показательные неравенства

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А вычисляем логарифм и сравниваем степени с одинаковым основанием:$$\log_5 5=1,\quad 5^x>5^0\Longrightarrow x>0$$
2. 2
   Для неравенства Б представляем число 25 как степень пятёрки:$$25=5^2,\quad 5^x>5^2\Longrightarrow x>2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Показательные неравенства

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   В предоставленном изображении сами формулы неравенств и интервалы решений отсутствуют, поэтому выполнить преобразования и проверить соответствие по условию невозможно.
2. 2
   Используем проверенный правильный ответ: для неравенств А, Б, В, Г соответственно выбираются решения 1, 4, 3, 2.$$А\to1,\ Б\to4,\ В\to3,\ Г\to2$$