На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 110 км, между А и В — 85 км, между В и Г — 80 км, между Г и А — 55 км. Все расстояния измеряются вдоль…
- 1
Расстояние между А и Б равно 110 км. Это половина длины кольцевой дороги, поэтому её длина составляет:$$L = 2 \cdot 110 = 220\ \text{км}$$
- 2
Расстояния от А до В и от А до Г в сумме дают 140 км, а кратчайшее расстояние между В и Г равно 80 км. Следовательно, В и Г находятся по разные стороны от А на соответствующих дугах.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 6 поперечных распилов, в итоге получилось 15 кусков. Сколько досок взяли?
- 1
Каждый поперечный распил увеличивает количество частей на один кусок.$$N = n + 6$$
- 2
Выразим количество досок:$$n = 15 - 6 = 9$$
В доме, в котором живёт Катя, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Катя живёт в квартире № 63. В каком подъезде живёт Катя?
- 1
Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 4 = 36$$
- 2
Первый подъезд содержит квартиры с номерами от 1 до 36. Второй подъезд начинается с квартиры № 37 и содержит квартиру № 63.$$36 < 63 \leq 72$$
На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: фиолетовая, зелёная и красная. Слева от красной вазы 18 роз, справа от зелёной вазы 11 роз. Всего в вазах 27 роз. Сколько роз в фиолетовой вазе?
- 1
По условиям зелёная ваза стоит слева, красная — справа, а фиолетовая — между ними. Обозначим количество роз в вазах через $з$, $ф$ и $к$ соответственно.$$з + ф = 18,\quad ф + к = 11,\quad з + ф + к = 27$$
- 2
Складываем первые два равенства:$$з + 2ф + к = 29$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В доме, в котором живёт Катя, 5 этажей и несколько подъездов. В каждом подъезде на каждом этаже находится по 3 квартиры. Катя живёт в квартире № 22. В каком подъезде живёт Катя?
- 1
Найдём количество квартир в одном подъезде: на каждом из 5 этажей по 3 квартиры.$$5 \cdot 3 = 15$$
- 2
В первом подъезде находятся квартиры с номерами 1–15, во втором — с номерами 16–30. Квартира № 22 относится ко второму подъезду.$$16 \leq 22 \leq 30$$
На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 60 км, между А и В — 45 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль…
- 1
Сумма трёх указанных участков образует длину кольцевой дороги:$$L=45+40+35=120$$
- 2
Расстояние между А и Б равно $60$ км, то есть половине длины кольцевой дороги. Поэтому точки Б и В расположены на одной полуокружности относительно А, и расстояние между ними равно разности расстояний от А:$$BV=AB-AV=60-45=15$$
На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 50 км, между А и В — 30 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 45 км (все расстояния измеряются вдоль…
- 1
По данным расстояния между А, В и Г последовательно образуют всю кольцевую дорогу:$$L = 30 + 25 + 45 = 100$$
- 2
Расстояние между А и Б равно $50$ км, то есть половине длины дороги. Поэтому Б расположена на расстоянии $50$ км от А.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 9 поперечных распилов, в итоге получилось 17 кусков. Сколько досок взяли?
- 1
Каждый распил увеличивает общее число кусков на один. Поэтому число кусков равно числу досок плюс число распилов.$$x + 9 = 17$$
- 2
Находим число досок:$$x = 17 - 9 = 8$$
В доме, в котором живёт Ира, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Ира живёт в квартире № 86. В каком подъезде живёт Ира?
- 1
Определим количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 5 = 25$$
- 2
Первые три подъезда содержат $3 \cdot 25 = 75$ квартир. Квартира № 86 находится после них, значит, в четвёртом подъезде.$$75 < 86 \leq 100$$
Среднее арифметическое пяти различных натуральных чисел равно 6. Среднее арифметическое этих чисел и шестого числа равно 7. Чему равно шестое число?
- 1
Сумма пяти чисел равна произведению их количества на среднее арифметическое:$$S_5 = 5 \cdot 6 = 30$$
- 2
Сумма пяти чисел и шестого числа равна:$$S_6 = 6 \cdot 7 = 42$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В доме всего девятнадцать квартир с номерами от 1 до 19. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 16 человек, а в…
- 1
Обозначим через $x$ количество жильцов в квартирах с 9-й по 12-ю. В этой группе 4 квартиры, поэтому $4 \leq x \leq 12$.
- 2
В первых восьми квартирах живёт $16-x$ человек. Так как в каждой из них не меньше одного человека, получаем $16-x \geq 8$, то есть $x \leq 8$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Девять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими девятью столбами?
- 1
Подсчитаем общее число концов проводов, отходящих от столбов.$$9 \cdot 4 = 36$$
- 2
Каждый провод соединяет два столба, поэтому при подсчёте концов каждый провод учтён дважды.$$36 : 2 = 18$$
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Пусть $a$ — число подъездов, $b$ — число квартир на этаже, $c$ — число этажей. Тогда $abc = 110$ и $c > b > a > 1$.$$abc = 110$$
- 2
Число $110$ раскладывается на три множителя, удовлетворяющих условию строгого возрастания: $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 25 см длиннее другой. Если…
- 1
Если полоса находится на расстоянии $x$ от середины ленты, то при разрезе разность длин частей равна $2x$.$$2x = \Delta$$
- 2
Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{кр}} = \dfrac{25}{2} = 12{,}5\text{ см}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: оранжевая, красная и зелёная. Слева от зелёной вазы 13 роз, справа от оранжевой вазы 25 роз. Всего в вазах 32 розы. Сколько роз в красной вазе?
- 1
Оранжевая ваза находится слева от зелёной, поэтому розы в красной вазе входят и в число роз слева от зелёной вазы, и в число роз справа от оранжевой вазы.$$13 + 25 = 32 + x$$
- 2
Находим количество роз в красной вазе:$$x = 13 + 25 - 32 = 6$$
Среднее арифметическое четырёх различных натуральных чисел равно 9. Среднее арифметическое этих чисел и пятого числа равно 11. Чему равно пятое число?
- 1
Найдём сумму четырёх первых чисел по их среднему арифметическому.$$S_4 = 4 \cdot 9 = 36$$
- 2
Найдём сумму всех пяти чисел по их среднему арифметическому.$$S_5 = 5 \cdot 11 = 55$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 50 км, между А и В — 40 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль…
- 1
Дуга от В до Г, проходящая через А, имеет длину:$$40 + 35 = 75$$
- 2
Так как кратчайшее расстояние между В и Г равно 25 км, длина всей кольцевой дороги равна:$$75 + 25 = 100$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий…
- 1
Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 3700 рублей и разностью 1600 рублей.$$a_1=3700,\quad d=1600$$
- 2
Найдём стоимость десятого метра.$$a_{10}=a_1+9d=3700+9\cdot1600=18100$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось пять, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…
- 1
Разложим число на простые множители:$$1590 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 53$$
- 2
Так как все отметки являются цифрами от 2 до 5, множитель $53$ должен получиться при объединении двух соседних отметок. Оставшиеся три отметки имеют произведение $30$, поэтому подходят отметки $2$, $3$ и $5$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Клетки таблицы $7 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 27 пар соседних клеток разного цвета и 21 пара соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…
- 1
Посчитаем число горизонтальных пар соседних клеток: в каждой из 7 строк по 5 клеток образуется 4 пары.$$7 \cdot 4 = 28$$
- 2
Посчитаем число вертикальных пар: в каждом из 5 столбцов по 7 клеток образуется 6 пар.$$5 \cdot 6 = 30$$
Ещё 2 шага — в полном решении