Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них указаны в таблице. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.
- 1
Обозначим ширины левой и правой частей через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — через $c$ и $d$.
- 2
Половины периметров четырёх прямоугольников равны соответственно $a+c$, $b+c$, $a+d$ и $b+d$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…
- 1
Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них принимает одно из значений $6$, $7$ или $8$.
- 2
Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение:$$Ax+B-C=172$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 9 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?
- 1
После каждого дня и ночи, кроме последнего, улитка поднимается на 1 м.
- 2
После 7 ночей улитка окажется на высоте 7 м:$$7 \cdot (2 - 1) = 7$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?
- 1
Условие о любых 28 грибах означает, что груздей не может быть 28 или больше: иначе можно было бы выбрать 28 груздей без рыжика. Значит, груздей не более 27.$$G \leq 27$$
- 2
Условие о любых 24 грибах означает, что рыжиков не может быть 24 или больше: иначе можно было бы выбрать 24 рыжика без груздя. Значит, рыжиков не более 23.$$R \leq 23$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме всего пятнадцать квартир с номерами от 1 до 15. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 9-ю включительно живёт суммарно 10 человек, а в…
- 1
Обозначим через $x$ суммарное число жителей в квартирах с 7-й по 9-ю.
- 2
В первых шести квартирах живёт $10-x$ человек. Так как в каждой из них не менее одного жителя, $10-x\geq 6$, откуда $x\leq 4$.$$10-x\geq 6\Rightarrow x\leq 4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 15 см длиннее другой. Если разрезать…
- 1
Если место разреза находится на расстоянии $x$ от середины ленты, то разность длин получившихся частей равна $2x$.$$\Delta=2x$$
- 2
Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{кр}}=\dfrac{15}{2}=7{,}5\text{ см}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме всего восемнадцать квартир, их номера от 1 до 18. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 13-ю включительно живёт суммарно 15 человек, а в…
- 1
Обозначим через $x$ суммарное число жителей в квартирах с 11-й по 13-ю. В первых десяти квартирах живёт $15-x$ человек. Так как в каждой из них живёт не менее одного человека, $15-x \geq 10$, поэтому $x \leq 5$.$$15-x \geq 10 \Rightarrow x \leq 5$$
- 2
В последних пяти квартирах, то есть с 14-й по 18-ю, живёт $20-x$ человек. Так как в каждой из них живёт не более трёх человек, $20-x \leq 15$, поэтому $x \geq 5$.$$20-x \leq 15 \Rightarrow x \geq 5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Среднее арифметическое четырёх различных натуральных чисел равно 11. Среднее арифметическое этих чисел и пятого числа равно 12. Чему равно пятое число?
- 1
Найдём сумму четырёх чисел по формуле суммы через среднее арифметическое:$$S_4 = 4 \cdot 11 = 44$$
- 2
Найдём сумму всех пяти чисел:$$S_5 = 5 \cdot 12 = 60$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Клетки таблицы $4 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 15 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…
- 1
В каждой из 4 строк имеется 4 горизонтальные пары соседних клеток, всего $4 \cdot 4 = 16$ пар.$$4 \cdot (5 - 1) = 16$$
- 2
В каждом из 5 столбцов имеется 3 вертикальные пары соседних клеток, всего $5 \cdot 3 = 15$ пар.$$5 \cdot (4 - 1) = 15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…
- 1
Пусть $x$ — загаданное натуральное число. По условию составляем уравнение.$$Ax+B-C=165$$
- 2
Числа $A$, $B$ и $C$ принимают значения 5, 6 или 7. Поэтому $B-C$ лежит в пределах от $-2$ до $2$, а число $165-B+C$ — в пределах от 163 до 167.
Ещё 2 шага — в полном решении
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 13, 17 и 19. Найдите периметр…
- 1
Обозначим ширины левой и правой частей через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — через $c$ и $d$.
- 2
Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке имеют вид: $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$.
Ещё 2 шага — в полном решении
На ленте по разные стороны от середины отмечены тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 25 см длиннее другой. Если разрезать ленту…
- 1
При разрезе на расстоянии $x$ от середины одна часть ленты длиннее другой на $2x$.
- 2
Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{кр}}=\frac{25}{2}=12{,}5\text{ см}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В корзине лежит 37 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 22 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 17 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?
- 1
Если бы груздей было не менее 22, то можно было бы выбрать 22 груздя без рыжиков, что противоречит условию. Значит, груздей не больше 21.$$g \leq 21$$
- 2
Если бы рыжиков было не менее 17, то можно было бы выбрать 17 рыжиков без груздей, что также противоречит условию. Значит, рыжиков не больше 16.$$r \leq 16$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 10 см длиннее другой. Если разрезать…
- 1
При смещении места разреза на $x$ сантиметров от середины одна часть увеличивается на $x$ см, а другая уменьшается на $x$ см. Поэтому разность длин частей равна $2x$.$$d=2x$$
- 2
Расстояние от середины до красной полоски:$$x_{\text{кр}}=\frac{10}{2}=5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Маша и Медведь съели 55 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в два…
- 1
Пусть общее время еды равно $T$, а до обмена блюдами прошло время $t$. Скорость Маши при еде варенья обозначим через $a$. Тогда Маша съела $at$ варенья, а Медведь — $2a(T-t)$.$$at=2a(T-t)$$
- 2
Так как варенья съедено поровну, сокращаем $a$ и находим время до обмена.$$t=2(T-t),\quad 3t=2T,\quad t=\dfrac{2T}{3}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Клетки таблицы $6 \times 6$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 30 пар соседних клеток разного цвета и 16 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…
- 1
В каждой из 6 строк есть 5 горизонтальных пар соседних клеток, а в каждом из 6 столбцов — 5 вертикальных пар.$$6 \cdot 5 + 6 \cdot 5 = 60$$
- 2
Общее количество пар соседних клеток состоит из пар разного цвета, пар чёрного цвета и пар белого цвета.$$60 = 30 + 16 + x$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Маша и Медведь съели 68 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре…
- 1
Пусть первый промежуток времени длится $t$, а второй — $s$. Скорость Медведя в $4$ раза больше скорости Маши. Так как варенья они съели поровну, получаем:$$v t = 4v s$$
- 2
Следовательно, $t=4s$. Можно принять длительность первого и второго промежутков равной $4$ и $1$ соответственно.
Ещё 3 шага — в полном решении
Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 9 партий, а Коля — 19. Сколько партий…
- 1
Коля сыграл 19 партий — больше, чем Миша. При описанном порядке смены игроков Коля участвовал в каждой партии, поэтому всего было 19 партий.$$N = 19$$
- 2
В каждой партии вместе с Колей участвовал один из двух других игроков — Миша или Лёша. Поэтому число партий Миши и Лёши в сумме равно общему числу партий.$$9 + x = 19$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Маша и Медведь съели 140 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…
- 1
Пусть Маша ест со скоростью $v$, тогда Медведь ест со скоростью $3v$. Пусть Маша ела варенье время $t$, а после обмена — время $T-t$.$$v_{\text{М}}=v,\quad v_{\text{Мед}}=3v$$
- 2
Маша съела варенья $vt$, а Медведь — $3v(T-t)$. По условию эти количества равны.$$vt=3v(T-t)\Rightarrow t=3(T-t)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На поверхности глобуса фломастером проведены 15 параллелей и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…
- 1
Пятнадцать параллелей делят поверхность глобуса на шестнадцать зон: две полярные и четырнадцать расположенных между соседними параллелями.$$15 + 1 = 16$$
- 2
Каждый из 20 меридианов проходит через каждую зону и делит её на одну часть. Поэтому общее число частей равно произведению числа зон на число меридианов.$$16 \cdot 20 = 320$$