В корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
- 1
Из условия о любых 12 грибах следует, что груздей не может быть 12 или больше: иначе можно было бы выбрать 12 груздей без рыжиков. Поэтому груздей не более 11, а рыжиков не менее 19.$$30 - 11 = 19$$
- 2
Из условия о любых 20 грибах следует, что рыжиков не может быть 20 или больше: иначе можно было бы выбрать 20 рыжиков без груздей. Поэтому рыжиков не более 19.$$N_{\text{рыжиков}} \leq 19$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 20 см длиннее другой. Если разрезать…
- 1
При разрезе на расстоянии $x$ от середины разность длин получившихся частей равна двум расстояниям от середины до места разреза.$$\Delta = 2x$$
- 2
Расстояние от середины до красной полоски:$$x_{\text{кр}} = \frac{20}{2} = 10\text{ см}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в квартире № 50. На каком этаже живёт Петя?
- 1
На первых восьми этажах размещаются квартиры с номерами от 1 до 48:$$8 \cdot 6 = 48$$
- 2
Квартира № 50 находится среди квартир 49–54, расположенных на девятом этаже.$$\left\lceil \dfrac{50}{6} \right\rceil = 9$$
Из десяти стран три подписали двусторонний договор о дружбе ровно с шестью другими странами, а каждая из оставшихся семи — ровно с двумя. Сколько всего было подписано договоров?
- 1
Посчитаем общее число упоминаний договоров у стран:$$3 \cdot 6 + 7 \cdot 2 = 18 + 14 = 32$$
- 2
Каждый двусторонний договор учтён два раза — по одному разу для каждой страны.$$N = \dfrac{32}{2} = 16$$
Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 19. Среднее арифметическое этих чисел и одиннадцатого числа равно 20. Чему равно одиннадцатое число?
- 1
Найдём сумму десяти чисел:$$S_{10}=10\cdot19=190$$
- 2
Среднее арифметическое десяти чисел и одиннадцатого числа равно 20, поэтому сумма всех одиннадцати чисел равна:$$S_{11}=11\cdot20=220$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько…
- 1
При распиле по красным линиям образуется 5 кусков, значит, красных линий $5 - 1 = 4$.
- 2
Аналогично, жёлтых линий $7 - 1 = 6$, зелёных линий $11 - 1 = 10$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…
- 1
12 параллелей разделяют поверхность глобуса на 13 поясов: между соседними параллелями и у обоих полюсов.$$12 + 1 = 13$$
- 2
15 меридианов делят каждый пояс на 15 частей.$$13 \cdot 15 = 195$$
В корзине лежит 45 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
- 1
Из условия о любых 23 грибах следует, что груздей не может быть 23 или больше: иначе можно было бы выбрать 23 груздя без рыжиков. Поэтому груздей не более 22.$$G \leq 22$$
- 2
Из условия о любых 24 грибах следует, что рыжиков не может быть 24 или больше: иначе можно было бы выбрать 24 рыжика без груздей. Поэтому рыжиков не более 23.$$R \leq 23$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 150, во втором — 131, а в третьем — 113. Сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$150 + 131 + 113 = 394$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 25 и меньшее 28, поэтому она может быть равна только 26 или 27.
Ещё 2 шага — в полном решении
На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 35 км, между А и В — 15 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль…
- 1
Три дуги между А, В и Г образуют всю кольцевую дорогу, поэтому её длина равна:$$L = 15 + 25 + 30 = 70$$
- 2
Расстояние между А и Б равно половине длины кольцевой дороги:$$AB = \frac{70}{2} = 35$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…
- 1
Пусть всё время еды равно $T$, а скорость Маши при поедании любого продукта равна $v$. Медведь ест со скоростью $3v$.
- 2
Пусть Маша ела варенье время $t$. Тогда Медведь ел варенье время $T-t$. По условию количества варенья равны:$$vt=3v(T-t)$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 15, 12 и 24. Найдите площадь…
- 1
Обозначим площадь четвёртого прямоугольника через $x$. Произведения площадей прямоугольников, расположенных по диагонали, равны:$$15 \cdot 24 = 12x$$
- 2
Выразим неизвестную площадь:$$x = \frac{15 \cdot 24}{12} = 30$$
В классе 28 учеников. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с тремя мальчиками. Сколько девочек учится в этом классе?
- 1
Пусть $m$ — число мальчиков, а $d$ — число девочек. По условию всего 28 учеников:$$m+d=28$$
- 2
Число дружеских связей можно посчитать двумя способами. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с тремя мальчиками:$$4m=3d$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 7 золотых монет получить 16 серебряных и одну медную; за 5 серебряных монет получить 2 золотые и одну медную. У Николая были только…
- 1
Пусть $x$ — число операций первого типа, а $y$ — число операций второго типа. Так как золотых монет в итоге не появилось, их общий прирост равен нулю:$$-7x+2y=0$$
- 2
Каждая операция добавляет одну медную монету, поэтому:$$x+y=39$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме, в котором живёт Тамара, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Тамара живёт в квартире № 44. В каком подъезде живёт Тамара?
- 1
Найдём количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 5 = 25$$
- 2
В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 25. Квартира № 44 находится в диапазоне от 26 до 50, то есть во втором подъезде.$$25 < 44 \leq 50$$
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 18 кусков, если по жёлтым — 6 кусков, а если по зелёным — 19 кусков. Сколько…
- 1
Если сделать $n$ распилов, палка разделится на $n+1$ кусков. Поэтому число линий каждого цвета на одну меньше указанного числа кусков.$$18-1=17,\quad 6-1=5,\quad 19-1=18$$
- 2
Общее число линий равно сумме линий всех трёх цветов.$$17+5+18=40$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В доме, в котором живёт Нина, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Нина живёт в квартире № 77. В каком подъезде живёт Нина?
- 1
Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 5 = 45$$
- 2
В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 45, а во втором — с номерами от 46 до 90. Квартира № 77 находится во втором подъезде.$$45 < 77 \leq 90$$
Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 8 поперечных распилов, в итоге получилось 19 кусков. Сколько досок взяли?
- 1
Изначально каждая доска является одним куском. Каждый поперечный распил увеличивает число кусков на один.$$n + 8 = 19$$
- 2
Найдём количество досок:$$n = 19 - 8 = 11$$
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: — за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную; — за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную. У Николая были только…
- 1
Пусть $x$ — число операций первого типа, а $y$ — число операций второго типа. Каждая операция даёт одну медную монету, поэтому$$x+y=45$$
- 2
Золотых монет вначале и в конце не было. При операциях первого типа тратится 4 золотые монеты, а при операциях второго типа получается 5 золотых монет, поэтому$$4x=5y$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 77, во втором — 125, в третьем — 175, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице по суммам столбцов.$$77 + 125 + 175 = 377$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 22, но меньшее 25. Значит, она равна 23 или 24.
Ещё 3 шага — в полном решении