Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Обозначим число подъездов через $e$, число этажей в одном подъезде через $f$, а число квартир на этаже через $a$. Общее число квартир равно произведению этих величин:$$efa = 110$$
- 2
Разложим число 110 на простые множители:$$110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме, в котором живёт Люда, 5 этажей и несколько подъездов. В каждом подъезде на каждом этаже находится по 3 квартиры. Люда живёт в квартире № 59. В каком подъезде живёт Люда?
- 1
Найдём количество квартир в одном подъезде: на каждом из 5 этажей по 3 квартиры.$$5 \cdot 3 = 15$$
- 2
Первые три подъезда занимают квартиры с номерами от 1 до 45. Квартира № 59 находится после них, в четвёртом подъезде.$$45 < 59 \leq 60$$
Маша и Медведь съели 110 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…
- 1
Пусть скорость Маши при еде равна $v$, а общее время еды — $T$. Обозначим через $t$ время, в течение которого Маша ела варенье. Тогда Медведь ел варенье $T-t$ времени со скоростью $3v$.$$vt=3v(T-t)$$
- 2
Сокращаем $v$ и находим продолжительность каждого этапа.$$t=3(T-t),\quad 4t=3T,\quad t=\frac{3T}{4}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 191, во втором — 176, в третьем — 184, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице по суммам чисел в столбцах:$$191 + 176 + 184 = 551$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 25 и меньшее 28. Значит, сумма каждой строки равна 26 или 27.
Ещё 2 шага — в полном решении
На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: оранжевая, белая и синяя. Слева от синей вазы 15 роз, справа от белой вазы 11 роз. Всего в вазах 23 розы. Сколько роз в оранжевой вазе?
- 1
Синяя ваза стоит правее оранжевой и белой, а белая — левее оранжевой и синей. Поэтому порядок ваз слева направо: белая, оранжевая, синяя.
- 2
Пусть в оранжевой вазе $x$ роз. Тогда в белой вазе $15 - x$ роз, а в синей вазе $11 - x$ роз.
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме всего десять квартир, их номера от 1 до 10. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 8-ю включительно живёт суммарно 10 человек, а в квартирах с…
- 1
Обозначим число жильцов в квартирах 7–8 через $x$. В первых шести квартирах живёт не менее 6 человек, а всего в квартирах 1–8 живёт 10 человек, поэтому $x \leq 4$.$$x \leq 10 - 6 = 4$$
- 2
В квартирах 9–10 может жить не более 6 человек. Так как в квартирах 7–10 всего 10 человек, получаем $x \geq 4$.$$x \geq 10 - 6 = 4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В корзине лежит 34 гриба: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 20 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?
- 1
Если бы груздей было не менее 20, можно было бы выбрать 20 груздей, среди которых нет рыжика. Поэтому груздей не больше 19.$$G \leq 19$$
- 2
Если бы рыжиков было не менее 16, можно было бы выбрать 16 рыжиков, среди которых нет груздя. Поэтому рыжиков не больше 15.$$R \leq 15$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Клетки таблицы $5 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 17 пар соседних клеток разного цвета и 9 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…
- 1
В каждой из пяти строк есть четыре пары соседних клеток по горизонтали, а в каждом из пяти столбцов — четыре пары по вертикали.$$5 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 40$$
- 2
Всего в таблице 40 пар соседних клеток. Из них 17 пар состоят из клеток разного цвета, а 9 пар — из чёрных клеток.$$40 - 17 - 9 = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В корзине лежат 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 27 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
- 1
Пусть рыжиков $r$, тогда груздей $50-r$.
- 2
Из условия о любых 27 грибах следует, что груздей не может быть 27 или больше: иначе можно было бы выбрать 27 груздей без рыжиков.$$50-r\leqslant26$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 498, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…
- 1
Из цифр 4, 9 и 8 составляем перестановки. Наименьшее число, большее 498, — 849, поэтому номер первой страницы после выпавших листов равен 849.$$p=849$$
- 2
Выпавшие страницы имеют номера от 499 до 848 включительно. Их количество равно:$$849-498-1=350$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В доме, в котором живёт Яна, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Яна живёт в квартире № 53. В каком подъезде живёт Яна?
- 1
Определим количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 3 = 27$$
- 2
Первый подъезд включает квартиры с номерами от 1 до 27, второй — от 28 до 54. Квартира № 53 находится во втором подъезде.
На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: белая, синяя и красная. Слева от красной вазы 15 роз, справа от синей вазы 12 роз. Всего в вазах 22 розы. Сколько роз в белой вазе?
- 1
Пусть в белой вазе $x$ роз. Тогда количество роз в синей и красной вазах обозначим соответственно через $b$ и $r$.
- 2
По условию розы в синей и белой вазах составляют 15 роз, а розы в белой и красной вазах — 12 роз.$$b+x=15,\quad x+r=12$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…
- 1
Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них может быть равно 6, 7 или 8.
- 2
Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение:$$Ax+B-C=340$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную; за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную. У Николая были только…
- 1
Пусть $x$ — число операций, в которых за 3 золотые монеты получают 4 серебряные и одну медную, а $y$ — число операций, в которых за 6 серебряных монет получают 4 золотые и одну медную.$$x+y=35$$
- 2
Так как золотых монет сначала не было и в конце их тоже не появилось, количество выданных золотых монет должно равняться количеству затраченных.$$4y=3x$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 7, 11 и 13. Найдите периметр…
- 1
Пусть ширины левой и правой частей равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — $c$ и $d$.
- 2
Тогда периметры четырёх прямоугольников равны $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$. Поэтому сумма периметров прямоугольников на одной диагонали равна сумме периметров прямоугольников на другой диагонали.$$P_{\text{лев. верх.}} + P_{\text{прав. ниж.}} = P_{\text{прав. верх.}} + P_{\text{лев. ниж.}}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Маша и Медведь съели 102 печенья и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в…
- 1
Пусть Маша ест печенье со скоростью $v$, тогда Медведь ест печенье со скоростью $4v$. Обозначим время до обмена продуктами через $t_1$, а после обмена — через $t_2$.
- 2
За время $t_1$ Маша съела варенье со скоростью $u$, а за время $t_2$ Медведь съел варенье со скоростью $4u$. По условию варенья съедено поровну:$$ut_1=4ut_2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Если бы каждый из двух множителей увеличили на 2, то их произведение увеличилось бы на 12. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 3?
- 1
Обозначим множители через $a$ и $b$. По условию при увеличении каждого множителя на 2 произведение увеличивается на 12:$$(a+2)(b+2)-ab=12$$
- 2
Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+2a+2b+4-ab=12,\quad 2a+2b=8,\quad a+b=4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 7 больших фишек, отдав 10 маленьких. До обменов у Пети было 257 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 185…
- 1
За один обмен Петя отдаёт 10 фишек и получает 7 фишек, поэтому общее количество фишек уменьшается на 3.$$10 - 7 = 3$$
- 2
Найдём, на сколько фишек уменьшилось их общее количество.$$257 - 185 = 72$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 11, 12 и 11. Найдите периметр…
- 1
Пусть ширины левой и правой частей равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — $c$ и $d$. Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке имеют вид:$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$
- 2
При сложении периметров первого и третьего прямоугольников и вычитании периметра второго получаем периметр четвёртого:$$P_4=P_1+P_3-P_2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором — 97, в третьем — 93, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице по столбцам.$$103 + 97 + 93 = 293$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 21 и меньшее 24, поэтому она равна 22 или 23.
Ещё 2 шага — в полном решении