Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 7 больших фишек, отдав 11 маленьких. До обменов у Пети было 100 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 68…
- 1
За один обмен Петя отдаёт 11 фишек и получает 7 фишек, поэтому общее количество фишек уменьшается на 4.$$11 - 7 = 4$$
- 2
Всего количество фишек уменьшилось на 32.$$100 - 68 = 32$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 15, 17 и 8. Найдите периметр…
- 1
При разбиении большого прямоугольника двумя разрезами сумма периметров противоположных малых прямоугольников одинакова.$$P_1 + P_3 = P_2 + P_4$$
- 2
Подставим известные периметры и найдём периметр четвёртого прямоугольника.$$P_4 = P_1 + P_3 - P_2 = 15 + 8 - 17 = 6$$
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4300 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1300 рублей больше, чем за…
- 1
Выплаты за каждый метр образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 4300$, разностью $d = 1300$ и количеством членов $n = 9$.$$a_1 = 4300,\quad d = 1300,\quad n = 9$$
- 2
Общая сумма выплат равна сумме первых тоғыз членов арифметической прогрессии.$$S_9 = \dfrac{9}{2}\left(2 \cdot 4300 + (9-1) \cdot 1300\right)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 20 см длиннее другой. Если…
- 1
При разрезе ленты расстояние от места разреза до середины удваивается в разности длин получившихся частей.$$d = 2x$$
- 2
Расстояние от красной полоски до середины ленты равно:$$x_{\text{красн.}} = \dfrac{20}{2} = 10\text{ см}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Обозначим число подъездов через $p$, число квартир на этаже через $k$, а число этажей в подъезде через $h$. Тогда общее число квартир равно произведению этих чисел:$$p \cdot k \cdot h = 114$$
- 2
Разложим 114 на простые множители:$$114 = 2 \cdot 3 \cdot 19$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если разрезать…
- 1
Если место разреза удалено от середины ленты на $x$ сантиметров, то одна часть длиннее другой на $2x$ сантиметров.$$\Delta=2x$$
- 2
Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{красн}}=\frac{35}{2}=17{,}5$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Среднее арифметическое восьми различных натуральных чисел равно 13. Среднее арифметическое этих чисел и девятого числа равно 14. Чему равно девятое число?
- 1
Найдём сумму сегіз чисел по формуле суммы через среднее арифметическое.$$S_8 = 8 \cdot 13 = 104$$
- 2
Найдём сумму всех тоғыз чисел.$$S_9 = 9 \cdot 14 = 126$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Среднее арифметическое девяти различных натуральных чисел равно 19. Среднее арифметическое этих чисел и десятого числа равно 20. Чему равно десятое число?
- 1
Сумма тоғыз чисел равна произведению их среднего арифметического на количество чисел:$$S_9 = 9 \cdot 19 = 171$$
- 2
Сумма он чисел равна:$$S_{10} = 10 \cdot 20 = 200$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Девять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими девятью столбами?
- 1
Если сложить количество проводов, отходящих от всех тоғыз столбов, получим $9 \cdot 6 = 54$.
- 2
Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3800 рублей, а за каждый следующий метр — на 1500 рублей больше, чем за предыдущий…
- 1
Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 3800 рублей и разностью 1500 рублей.$$a_1=3800,\quad d=1500,\quad n=6$$
- 2
Найдём стоимость шестого метра.$$a_6=a_1+5d=3800+5\cdot1500=11300$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Пусть $f$ — число этажей в подъезде, $a$ — число квартир на этаже, $p$ — число подъездов. Тогда $f > a > p > 1$, а общее число квартир равно произведению этих чисел.$$fap = 110$$
- 2
Разложим число 110 на три множителя, удовлетворяющих условиям тапсырма:$$110 = 11 \cdot 5 \cdot 2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Длины двух рек относятся как 2 : 3, при этом одна из них длиннее другой на 30 км. Найдите длину большей реки. Ответ дайте в километрах.
- 1
Пусть длины рек выражаются через одну долю. Тогда меньшая река имеет длину $2x$, а большая — $3x$.$$3x - 2x = 30$$
- 2
Находим величину одной доли:$$x = 30$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 100 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 70 км, между Г и А — 80 км. Все расстояния измеряются вдоль…
- 1
Суммируем расстояния между А, В и Г, которые образуют всю кольцевую дорогу:$$L=50+70+80=200\text{ км}$$
- 2
Половина длины кольцевой дороги равна $100$ км. Так как $АБ=100$ км, точки А и Б расположены на противоположных концах диаметра.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в квартире № 69. На каком этаже живёт Петя?
- 1
На каждом этаже расположено 6 квартир. Определим, сколько этажей нужно для размещения квартир с номерами от 1 до 69.$$\left\lceil \dfrac{69}{6} \right\rceil$$
- 2
Так как после 11 этажей размещаются 66 квартир, квартиры № 67–72 находятся на 12-м этаже. Значит, квартира № 69 расположена на 12-м этаже.$$69 = 6 \cdot 11 + 3$$
На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: чёрная, синяя и жёлтая. Слева от чёрной вазы 17 роз, справа от жёлтой вазы 16 роз. Всего в вазах 24 розы. Сколько роз в синей вазе?
- 1
При сложении количества роз слева от чёрной вазы и справа от жёлтой вазы розы в синей вазе учитываются дважды.
- 2
Общее количество роз учитывается один раз, поэтому количество роз в синей вазе равно разности суммы двух данных количеств и общего количества роз.$$17 + 16 - 24 = 9$$
В доме, в котором живёт Тамара, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Тамара живёт в квартире № 85. В каком подъезде живёт Тамара?
- 1
Определим количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 3 = 27$$
- 2
Первые три подъезда содержат $3 \cdot 27 = 81$ квартиру. Квартира № 85 находится в диапазоне от 82 до 108, который соответствует четвёртому подъезду.$$81 < 85 \leqslant 108$$
Длины двух рек относятся как $8:9$, при этом одна из них длиннее другой на 5 км. Найдите длину большей реки. Ответ дайте в километрах.
- 1
Разность коэффициентов в отношении длин рек равна одной части:$$9-8=1$$
- 2
Если одна часть составляет 5 км, то большая река имеет 9 таких частей:$$9\cdot5=45$$
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 17, 12 и 13. Найдите периметр…
- 1
Обозначим ширины левого и правого столбцов через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — через $c$ и $d$. Тогда периметры четырёх прямоугольников равны $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$.
- 2
Сложим периметры левого верхнего и правого нижнего прямоугольников и вычтем периметр правого верхнего: общие стороны сократятся, останется периметр левого нижнего прямоугольника.$$P_4 = P_1 + P_3 - P_2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 18 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 19 кусков. Сколько…
- 1
Если сделать $n$ распилов, палка разделится на $n+1$ кусков. Поэтому число линий каждого цвета на одну меньше соответствующего числа кусков.$$18-1=17,\quad 12-1=11,\quad 19-1=18$$
- 2
На палке всего белгіленген линий трёх цветов:$$17+11+18=46$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в десятом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех…
- 1
Пусть в одном подъезде находится $n$ квартир. Так как в подъезде 9 этажей и число квартир на этажах одинаково, $n$ кратно 9. Квартира № 333 находится в десятом подъезде:$$9n < 333 \leqslant 10n$$
- 2
Из неравенств получаем $33{,}3 \leqslant n < 37$, поэтому с учётом кратности 9 имеем:$$n = 36$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде