Задание 21 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Найти загаданное число

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как каждое из чисел $A$, $B$ и $C$ больше 6, но меньше 10, каждое из них принимает одно из значений $7$, $8$, $9$.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. Тогда по условию$$Ax+B-C=429$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4000 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию: первый член равен 4000 рублей, разность равна 1600 рублей, число членов равно 7.$$a_1=4000,\quad d=1600,\quad n=7$$
2. 2
   Найдём стоимость последнего, седьмого метра.$$a_7=a_1+6d=4000+6\cdot1600=13600$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Распил досок и количество кусков

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 5 поперечных распилов, в итоге получилось 23 куска. Сколько досок взяли?

1. 1
   Пусть взяли $x$ досок. До распиливания было $x$ заготовок.
2. 2
   Каждый распил увеличивает число кусков на один, поэтому после 5 распилов получится $x + 5$ кусков.$$x + 5 = 23$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Розы в трёх вазах

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: чёрная, зелёная и оранжевая. Слева от чёрной вазы 32 розы, справа от оранжевой вазы 9 роз. Всего в вазах 37 роз. Сколько роз в зелёной вазе?

1. 1
   При сложении количества роз слева от чёрной вазы и справа от оранжевой вазы розы в зелёной вазе учитываются дважды.$$32 + 9 = 37 + x$$
2. 2
   Находим количество роз в зелёной вазе:$$x = 32 + 9 - 37 = 4$$

Розы в трёх вазах

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: жёлтая, зелёная и красная. Слева от зелёной вазы 21 роза, справа от жёлтой вазы 31 роза. Всего в вазах 40 роз. Сколько роз в красной вазе?

1. 1
   При сложении количества роз слева от зелёной вазы и справа от жёлтой вазы розы в красной вазе учитываются дважды, а все остальные розы — один раз.$$21 + 31 = 40 + x$$
2. 2
   Найдём количество роз в красной вазе:$$x = 21 + 31 - 40 = 12$$

Количество рыжиков в корзине

В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

1. 1
   Среди любых 17 грибов должен быть хотя бы один рыжик. Поэтому груздей не может быть 17 или больше: иначе можно было бы выбрать 17 груздей.$$N_{\text{груздей}} \leq 16$$
2. 2
   Следовательно, рыжиков не меньше 24.$$N_{\text{рыжиков}} \geq 40 - 16 = 24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое семи различных натуральных чисел равно 12. Среднее арифметическое этих чисел и восьмого числа равно 13. Чему равно восьмое число?

1. 1
   Сумма семи чисел равна произведению их количества на среднее арифметическое:$$S_7 = 7 \cdot 12 = 84$$
2. 2
   Сумма всех восьми чисел равна:$$S_8 = 8 \cdot 13 = 104$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию, где $a_1=3500$, $d=1600$, $n=9$.$$a_n=a_1+(n-1)d$$
2. 2
   Найдём стоимость девятого метра:$$a_9=3500+(9-1)\cdot1600=16300$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Распил досок и количество кусков

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 13 поперечных распилов, в итоге получилось 18 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   При каждом распиле число кусков увеличивается на один. Поэтому после 13 распилов число кусков на 13 больше числа досок.$$18 = x + 13$$
2. 2
   Найдём число досок:$$x = 18 - 13 = 5$$

Обмен монет

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 3 золотые монеты получить 4 серебряные и одну медную; за 7 серебряных монет получить 4 золотые и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций, в которых за 3 золотые монеты получают 4 серебряные и одну медную, а $y$ — число операций, в которых за 7 серебряных монет получают 4 золотые и одну медную.
2. 2
   Всего появилось 42 медные монеты, значит, обменный пункт посещали $42$ раза.$$x+y=42$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $7 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 27 пар соседних клеток разного цвета и 21 пара соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 7 строк имеется 4 пары соседних клеток по горизонтали, поэтому горизонтальных пар $7 \cdot 4 = 28$.$$7 \cdot (5-1)=28$$
2. 2
   В каждом из 5 столбцов имеется 6 пар соседних клеток по вертикали, поэтому вертикальных пар $5 \cdot 6 = 30$.$$5 \cdot (7-1)=30$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   Посчитаем количество концов проводов, отходящих от всех столбов:$$10 \cdot 6 = 60$$
2. 2
   Каждый провод имеет два конца, поэтому при подсчёте по столбам каждый провод учтён дважды:$$60 : 2 = 30$$

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $4 \times 8$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 22 пары соседних клеток разного цвета и 19 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 4 строк имеется 7 горизонтальных пар соседних клеток, поэтому горизонтальных пар $4 \cdot 7 = 28$.
2. 2
   В каждом из 8 столбцов имеется 3 вертикальные пары соседних клеток, поэтому вертикальных пар $8 \cdot 3 = 24$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 3 большие фишки, отдав 10 маленьких. До обменов у Пети было 100 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 65…

1. 1
   За один обмен количество фишек уменьшается на разность между отданными и полученными фишками.$$10 - 3 = 7$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось на 35.$$100 - 65 = 35$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площади частей прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 7, 14 и 22. Найдите площадь…

1. 1
   Обозначим площадь четвёртого прямоугольника через $x$. При разбиении прямоугольника двумя перпендикулярными разрезами произведения площадей противоположных частей равны.$$S_1S_3=S_2S_4$$
2. 2
   Подставим известные площади: площадь левого верхнего прямоугольника равна $7$, правого верхнего — $14$, правого нижнего — $22$.$$7\cdot22=14x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 3. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 5?

1. 1
   Пусть исходные множители равны $a$ и $b$. По условию:$$(a+1)(b+1)-ab=3$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+a+b+1-ab=3 \Rightarrow a+b=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении