Задание 17 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Корень уравнения

Найдите корень уравнения.

1. 1
   Решая уравнение и проверяя полученное значение подстановкой, получаем единственный корень.$$x = 7$$

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^2+x=0$$
2. 2
   Разложим левую часть на множители.$$x(x+1)=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{5}\right)^{x+1}=\frac{1}{25}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$:$$\frac{1}{25}=\left(\frac{1}{5}\right)^2$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$x+1=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уравнение с квадратным корнем

Решите уравнение $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{8}$.

1. 1
   Область допустимых значений: $x > 0$.$$x > 0$$
2. 2
   Приравниваем знаменатели дробей:$$\sqrt{x} = 8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{3}(5x-6)=2$.

1. 1
   Переходим от логарифмической формы уравнения к показательной:$$5x-6=3^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$5x-6=9 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 6 = 5x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:$$x^2 - 5x + 6 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 16 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Разложим левую часть уравнения на множители как разность квадратов.$$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$
2. 2
   Приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни.$$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4; \quad x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x-3} : \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = 1$.

1. 1
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x-3} : \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x-3-x} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3x-3}$$
2. 2
   Основание степени $\dfrac{1}{2}$ не равно $1$, поэтому показатель степени должен быть равен нулю:$$3x-3=0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $9x + 2(1 - 6x) = -x - 6$.

1. 1
   Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:$$9x + 2(1 - 6x) = -x - 6 \Rightarrow 9x + 2 - 12x = -x - 6 \Rightarrow -3x + 2 = -x - 6$$
2. 2
   Перенесём слагаемые с неизвестным в левую часть, а числа — в правую:$$-3x + x = -6 - 2 \Rightarrow -2x = -8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{10 - x} = 4$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$10 - x = 4^2$$
2. 2
   Решим получившееся уравнение:$$10 - x = 16 \Rightarrow -x = 6 \Rightarrow x = -6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{9}\right)^{x-6}=81$.

1. 1
   Представим основание и правую часть в виде степеней числа $3$.$$\left(\dfrac{1}{9}\right)^{x-6}=\left(3^{-2}\right)^{x-6}=3^{-2(x-6)},\quad 81=3^4$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели.$$-2(x-6)=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $4^{2x+3} \cdot 4^{-6x+5} = 64$.

1. 1
   Преобразуем произведение степеней с одинаковым основанием и представим $64$ как степень числа $4$.$$4^{2x+3} \cdot 4^{-6x+5} = 4^{(2x+3)+(-6x+5)} = 4^{-4x+8}, \quad 64=4^3$$
2. 2
   Так как основания степеней равны, приравниваем показатели.$$-4x+8=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{\pi}(5x-7)-\log_{\pi}5=\log_{\pi}21$.

1. 1
   Область допустимых значений определяется условием $5x-7>0$, поэтому $x>1{,}4$.
2. 2
   Объединим логарифмы в левой части:$$\log_{\pi}\frac{5x-7}{5}=\log_{\pi}21$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_5(24 - 7x) = \log_5 3$.

1. 1
   Основания логарифмов одинаковы и больше единицы, поэтому приравниваем аргументы:$$24 - 7x = 3$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$7x = 21,\quad x = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $3^{2x-4} \cdot 3^{3-x} = 1$.

1. 1
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$3^{2x-4} \cdot 3^{3-x} = 3^{(2x-4)+(3-x)} = 3^{x-1}$$
2. 2
   Так как $3^{x-1}=1=3^0$, приравниваем показатели:$$x-1=0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $7^{8+x}=49$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $7$:$$49=7^2$$
2. 2
   Приравняем показатели степеней:$$8+x=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 6 = 5x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть:$$x^2 - 5x + 6 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{17}(29 - 6x) = \log_{17}5$.

1. 1
   Основания логарифмов одинаковы и допустимы, поэтому приравниваем их аргументы.$$29 - 6x = 5$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение.$$6x = 24,\quad x = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{1,2}(2x-3)-\log_{1,2}2=\log_{1,2}7$.

1. 1
   Объединим разность логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_{1,2}\frac{2x-3}{2}=\log_{1,2}7$$
2. 2
   Так как основания логарифмов одинаковы, приравняем аргументы:$$\frac{2x-3}{2}=7$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3x-5} \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^{1-2x} = 1$.

1. 1
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3x-5} \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^{1-2x} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{3x-5+1-2x}$$
2. 2
   Упростим показатель степени:$$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x-4}=1$$

Ещё 2 шага — в полном решении