Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Разбиение поверхности глобуса

На поверхности глобуса фломастером проведены 18 параллелей и 19 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   18 параллелей разделяют поверхность глобуса на 19 полос.
2. 2
   Каждый из 19 меридианов пересекает каждую полосу и разделяет её на отдельную часть. Поэтому число частей равно произведению числа полос на число меридианов:$$19 \cdot 19 = 361$$

Площадь окрашенных ступеней

Несколько ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 35 см, высота — 20 см, а ширина…

1. 1
   На рисунке изображены 5 ступеней. Для каждой ступени окрашены горизонтальная и вертикальная поверхности.
2. 2
   Площадь окрашенной поверхности одной ступени равна:$$S_1 = 90(35+20)=90\cdot55=4950$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности трубы

Прямолинейный участок трубы длиной 5 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи. Торцы трубы открыты, их красить не нужно. Найдите площадь поверхности, которую необходимо…

1. 1
   Красить нужно только боковую поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению внешнего обхвата на длину.$$S=Cl$$
2. 2
   Переведём длину трубы в сантиметры:$$5\text{ м}=500\text{ см}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь двускатной крыши

Двускатную крышу дома, имеющего в основании прямоугольник, необходимо полностью покрыть рубероидом. Высота крыши равна 2,5 м, длины стен дома равны 10 м и 12 м. Найдите, сколько рубероида (в…

1. 1
   Рассмотрим поперечное сечение крыши. Половина ширины дома равна $12 : 2 = 6$ м.$$a = 6$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём длину ската крыши:$$l = \sqrt{6^2 + 2{,}5^2} = \sqrt{36 + 6{,}25} = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Деление поверхности глобуса

На поверхности глобуса фломастером проведены 14 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   Двадцать два меридиана, соединяющие Северный и Южный полюсы, делят поверхность глобуса на 22 части.$$22$$
2. 2
   Каждая из 14 параллелей пересекает все 22 меридиана, поэтому каждая параллель добавляет 22 части.$$14 \cdot 22$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности трубы

Прямолинейный участок трубы длиной 3 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…

1. 1
   Красить нужно только боковую поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению внешнего обхвата на длину трубы.$$S = C \cdot h$$
2. 2
   Переведём длину трубы из метров в сантиметры: $3\ \text{м} = 300\ \text{см}$.$$h = 300\ \text{см}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{4}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный всему сосуду. Коэффициент подобия по высоте равен $\dfrac{4}{5}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого коэффициента.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{4}{5}\right)^3=\frac{64}{125}$$
2. 2
   По условию объём жидкости равен 80 мл, значит объём всего сосуда равен:$$V_{\text{сосуда}}=80\cdot\frac{125}{64}=156{,}25\text{ мл}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём ступенчатой детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Рассмотрим боковой профиль детали. Его можно представить как прямоугольник размером $3 \times 4$, из которого удалён прямоугольник размером $(3 - 2) \times 2$.$$S = 3 \cdot 4 - (3 - 2) \cdot 2 = 10$$
2. 2
   Полученный профиль имеет глубину $2$ см, поэтому объём детали равен произведению площади профиля на глубину.$$V = S \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и диагональ $AB_1$ боковой грани равны соответственно $4$, $7$ и $\sqrt{41}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   В грани $ABB_1A_1$ диагональ $AB_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$AB_1^2=AB^2+AA_1^2$$
2. 2
   Найдём высоту параллелепипеда:$$AA_1=\sqrt{AB_1^2-AB^2}=\sqrt{41-16}=\sqrt{25}=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной призмы

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз…

1. 1
   Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $1{,}5a$, а её высота — $\dfrac{h}{4{,}5}$.$$a_2 = 1{,}5a_1, \quad h_2 = \dfrac{h_1}{4{,}5}$$
2. 2
   Объём правильной четырёхугольной призмы равен произведению площади квадратного основания на высоту.$$V = a^2h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 4 см весит 128 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 7 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам, а объёмы шаров пропорциональны кубам диаметров.$$\frac{m_2}{m_1}=\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^3$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$m_2=128\left(\frac{7}{4}\right)^3=128\cdot\frac{343}{64}=686$$

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $3\sqrt{6}$.

1. 1
   В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат со стороной 6. Расстояние от его центра до вершины равно половине диагонали квадрата:$$R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, отрезком $R$ и боковым ребром:$$h^2=(3\sqrt{6})^2-(3\sqrt{2})^2=54-18=36$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $2$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $5\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Найдём площадь основания — правильного треугольника со стороной $2$.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$
2. 2
   Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h = SA = 5\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вершины усечённого куба

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

1. 1
   При отпиливании всех вершин куба каждая исходная вершина исчезает. На каждом ребре куба остаются две точки — по одной около каждого из его концов.
2. 2
   У куба 12 рёбер, поэтому число вершин нового многогранника равно:$$12 \cdot 2 = 24$$

Объём аквариума

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $80\ \text{см} \times 30\ \text{см} \times 40\ \text{см}$. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре $1000$ кубических…

1. 1
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.$$V = 80 \cdot 30 \cdot 40 = 96000\ \text{см}^3$$
2. 2
   Переведём объём из кубических сантиметров в литры.$$96000 : 1000 = 96\ \text{л}$$

Объём кубического аквариума

Аквариум имеет форму куба со стороной 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём куба равен кубу длины его стороны.$$V = a^3$$
2. 2
   Подставим длину стороны аквариума:$$V = 40^3 = 64000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной призмы

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре раза ниже второй, а вторая — в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй…

1. 1
   Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда объём первой коробки:$$V_1 = a^2h$$
2. 2
   У второй коробки высота в 4 раза больше, а сторона квадратного основания в 1,5 раза больше:$$V_2 = (1{,}5a)^2 \cdot 4h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 90 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость заполняет конус, подобный сосуду. Его линейные размеры в 2 раза меньше, поэтому объём в 8 раз меньше.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}$$
2. 2
   Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}}=90\cdot 8=720\ \text{мл}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 3 см весит 81 грамм. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам.$$m \sim V$$
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу его диаметра.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $\sqrt{53}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b^2=(\sqrt{53})^2-2^2=53-4=49,\quad b=7$$
2. 2
   Площадь основания — площадь прямоугольного треугольника:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot7=7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении