Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Отношение объёмов конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 4, а второго — 4 и 6. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

1. 1
   Объём конуса определяется формулой:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёма первого конуса к объёму второго:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 4}{\frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка смены цвета конуса

Для печати на $3D$-принтере двухцветного конуса используются три параметра: радиус основания, угол наклона образующей к основанию и точка смены цвета на образующей. В программу введены: радиус $4$…

1. 1
   Радиус основания равен проекции образующей на плоскость основания.$$r=l\cos 60^\circ$$
2. 2
   Найдём длину образующей конуса.$$l=\frac{4}{\cos 60^\circ}=\frac{4}{1/2}=8\text{ см}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $4$, а высота этой призмы равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $4$. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту призмы:$$V=S_{\text{осн}}h=4\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}=16\cdot3=48$$

Объём двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 4, а второго — 6 и 6. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого конуса?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёма второго конуса к объёму первого:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{6^2 \cdot 6}{3^2 \cdot 4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы двух шаров

Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём большего шара превышает объём меньшего:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{6}{2}\right)^3 = 3^3 = 27$$

Объём шаров по радиусам

Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Находим отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_{\text{б}}}{V_{\text{м}}} = \left(\dfrac{3}{1}\right)^3 = 27$$

Высота четырёхугольной пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 и 8. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 80.

1. 1
   Найдём площадь прямоугольника, являющегося основанием пирамиды:$$S_{\text{осн}} = 6 \cdot 8 = 48$$
2. 2
   Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h,\quad h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 6 и 9, а второго — 9 и 2. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго цилиндра?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Запишем отношение объёма первого цилиндра к объёму второго:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 9}{\pi \cdot 9^2 \cdot 2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 5 и 9.

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(3 \cdot 5 + 3 \cdot 9 + 5 \cdot 9)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений:$$S = 2(15 + 27 + 45) = 2 \cdot 87 = 174$$

Деление поверхности глобуса

На поверхности глобуса фломастером проведены 15 параллелей и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   20 меридианов делят поверхность глобуса на 20 частей.
2. 2
   Каждая из 15 параллелей пересекает все 20 меридианов и разбивается на 20 дуг. Каждая дуга добавляет одну часть поверхности.$$15 \cdot 20 = 300$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разбиение поверхности глобуса

На поверхности глобуса фломастером проведены 15 параллелей и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   Пятнадцать параллелей делят поверхность глобуса на шестнадцать зон: две полярные и четырнадцать расположенных между соседними параллелями.$$15 + 1 = 16$$
2. 2
   Каждый из 20 меридианов проходит через каждую зону и делит её на одну часть. Поэтому общее число частей равно произведению числа зон на число меридианов.$$16 \cdot 20 = 320$$

Разбиение глобуса линиями

На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   12 параллелей разделяют поверхность глобуса на 13 поясов: между соседними параллелями и у обоих полюсов.$$12 + 1 = 13$$
2. 2
   15 меридианов делят каждый пояс на 15 частей.$$13 \cdot 15 = 195$$

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 3, а объём параллелепипеда равен 360. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{360}{10 \cdot 3} = 12$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами $37$ и основанием $24$.
2. 2
   Высота боковой грани делит основание пополам, поэтому по теореме Пифагора:$$h = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{1369 - 144} = 35$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Разбиение поверхности глобуса

На поверхности глобуса фломастером проведены 24 параллели и 17 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   Проведённые 17 меридианов сходятся в полюсах и делят поверхность глобуса на 17 частей.$$17$$
2. 2
   Каждая из 24 параллелей пересекает каждый из 17 получившихся секторов и увеличивает число частей на 17.$$24 \cdot 17$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $18\pi$, а его высота равна 6. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$18\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Деление поверхности глобуса

На поверхности глобуса фломастером проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   Семнадцать параллелей делят поверхность глобуса на 18 горизонтальных полос: между соседними параллелями и в двух областях около полюсов.$$17 + 1 = 18$$
2. 2
   Каждая полоса разделена 24 меридианами на 24 части.$$18 \cdot 24 = 432$$