Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Объём правильной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $2$, а высота этой призмы равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $2$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=9$$

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 5, а его образующая равна 17. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 3. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   В основании цилиндра сечение высекает хорду. Половина хорды находится по теореме Пифагора:$$\frac{a}{2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$$
2. 2
   Ширина прямоугольного сечения равна длине хорды:$$a=2\cdot4=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $2$, а высота пирамиды равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $2$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём пирамиды вычисляется как треть произведения площади основания на высоту.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}=4$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $CD$, $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $3$, $4$ и $5$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   На боковой грани $CDD_1C_1$ диагональ $CD_1$ и рёбра $CD$, $CC_1$ образуют прямоугольный треугольник.$$CC_1^2+CD^2=CD_1^2$$
2. 2
   Найдём высоту параллелепипеда:$$CC_1=\sqrt{CD_1^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение объёмов конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 9 и 2, а второго — 3 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

1. 1
   Используем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Найдём отношение объёма первого конуса к объёму второго. Множители $\dfrac{1}{3}\pi$ сокращаются:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{r_1^2h_1}{r_2^2h_2} = \dfrac{9^2 \cdot 2}{3^2 \cdot 3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 5, а гипотенуза равна $\sqrt{61}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b = \sqrt{(\sqrt{61})^2 - 5^2} = \sqrt{61 - 25} = 6$$
2. 2
   Площадь основания призмы равна площади прямоугольного треугольника:$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2}\cdot5\cdot6 = 15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $CD$, $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $4$, $7$ и $4\sqrt{2}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольную грань $CDD_1C_1$. В ней треугольник $CDD_1$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$CD_1^2=CD^2+DD_1^2$$
2. 2
   Найдём третье измерение параллелепипеда:$$DD_1=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{32-16}=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 4$, $AC = 9$ и $AD = 5$.

1. 1
   Возьмём треугольник $ACD$ за основание. Так как $AC \perp AD$, его площадь равна:$$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Ребро $AB$ перпендикулярно и $AC$, и $AD$, следовательно, оно является высотой пирамиды относительно основания $ACD$.$$h = AB$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота музейной копии

Пирамида Снофру имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 5,5 см. Найдите…

1. 1
   Переведём размеры исходной пирамиды в сантиметры: $220\ \text{м} = 22000\ \text{см}$, $104\ \text{м} = 10400\ \text{см}$.
2. 2
   Копия и исходная пирамида подобны, поэтому отношение высот равно отношению сторон оснований.$$\dfrac{h}{10400} = \dfrac{5{,}5}{22000}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 6, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа $\pi$, радиуса основания и образующей.$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площади второго конуса к площади первого и подставим значения.$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 8}{\pi \cdot 4 \cdot 6} = 2$$

Объём треугольной пирамиды

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $4$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Так как боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию, оно является высотой пирамиды:$$h = SA = \sqrt{3}$$
2. 2
   Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $4$. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 5, 6 и 7.

1. 1
   Подставим значения рёбер $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$ в формулу.$$S = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 7)$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$S = 2(30 + 35 + 42) = 2 \cdot 107 = 214$$

Объёмы двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 6 и 5, а второго — 2 и 6. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Найдём отношение объёма первого цилиндра к объёму второго:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 5}{\pi \cdot 2^2 \cdot 6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 6, а боковые рёбра равны 5. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Боковая поверхность состоит из трёх равных боковых граней. Каждая грань является равнобедренным треугольником со сторонами $5$, $5$ и основанием $6$.
2. 2
   Высота боковой грани делит её основание пополам. По теореме Пифагора найдём высоту:$$h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь боковой поверхности цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 15 и 6, а второго — 2 и 5. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$
2. 2
   Составим отношение площадей боковых поверхностей двух цилиндров:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi r_1h_1}{2\pi r_2h_2} = \frac{15\cdot 6}{2\cdot 5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности цилиндра

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 3, а второго — 12 и 5. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго цилиндра больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$
2. 2
   Составим отношение площади боковой поверхности второго цилиндра к площади боковой поверхности первого:$$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{2\pi r_2h_2}{2\pi r_1h_1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 14, а боковые рёбра равны 25. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трёх равных граней. Каждая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 25 и основанием 14.
2. 2
   Высота боковой грани делит её основание пополам. По теореме Пифагора найдём эту высоту:$$h = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = 24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 192. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Точка делит высоту в отношении $1:3$ от вершины, поэтому высота отсечённого конуса равна одной четвёртой высоты исходного конуса.$$k=\frac{h_\text{мал}}{h_\text{исх}}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$
2. 2
   Отсечённый конус подобен исходному. Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_\text{мал}}{V_\text{исх}}=k^3=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \frac{280}{8 \cdot 5} = 7$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $CD$, $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $5$ и $\sqrt{29}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDD_1$ на боковой грани параллелепипеда.$$CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2$$
2. 2
   Найдём высоту параллелепипеда:$$DD_1 = \sqrt{CD_1^2 - CD^2} = \sqrt{29 - 25} = 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении