Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Окупаемость счётчиков воды

Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3700 рублей. До установки счётчиков за воду платили 900 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять…

1. 1
   Ежемесячная экономия после установки счётчиков составляет:$$900 - 400 = 500\text{ рублей}$$
2. 2
   Для определения количества месяцев составим неравенство, поскольку экономия должна превысить затраты на установку:$$500n > 3700$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Расход бумаги за недели

В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 700 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 8 недель?

1. 1
   Определим расход бумаги за 8 недель:$$700 \cdot 8 = 5600$$
2. 2
   Найдём количество пачек:$$5600 : 250 = 22{,}4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стоимость бутылки кваса

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $x$ — стоимость одного литра кваса. По условию:$$b + x = 44,\quad b + 2x = 80$$
2. 2
   Вычитаем первое уравнение из второго и находим стоимость одного литра кваса:$$x = 80 - 44 = 36$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Расстояние по числу шагов

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число шагов, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если $l = 80$…

1. 1
   Переведём длину шага в метры: $80$ см $= 0{,}8$ м.$$l = 0{,}8\ \text{м}$$
2. 2
   Подставим значения в формулу расстояния:$$s = nl = 1800 \cdot 0{,}8 = 1440\ \text{м}$$

Расход бумаги за три недели

В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1700 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 3 недели?

1. 1
   Определим количество листов, необходимое на 3 недели.$$1700 \cdot 3 = 5100$$
2. 2
   Разделим необходимое количество листов на число листов в одной пачке.$$5100 : 250 = 20{,}4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стоимость поездки на такси

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси длительностью меньше 5 минут составляет 150 рублей. Если поездка длится 5 минут или дольше, то её стоимость (в рублях) рассчитывается по формуле…

1. 1
   Длительность поездки равна 9 минутам, поэтому используем заданную формулу:$$C = 150 + 11(t - 5)$$
2. 2
   Подставим $t = 9$ и вычислим стоимость поездки:$$C = 150 + 11(9 - 5) = 150 + 44 = 194$$

Стоимость колодца из колец

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле $C = 6000 + 4100n$, где $n$ — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу $n = 6$.$$C = 6000 + 4100 \cdot 6$$
2. 2
   Вычислим стоимость колодца.$$C = 6000 + 24600 = 30600$$

Стоимость поездки на такси

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси длительностью меньше 5 минут составляет 150 рублей. Если поездка длится 5 минут или более, её стоимость рассчитывается по формуле…

1. 1
   Поскольку длительность поездки составляет 20 минут, применяем заданную формулу.$$C = 150 + 11(t - 5)$$
2. 2
   Подставляем $t = 20$ и вычисляем стоимость поездки.$$C = 150 + 11(20 - 5) = 150 + 11 \cdot 15 = 315$$

Стоимость поездки на такси

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси длительностью меньше 5 минут составляет 150 рублей. Если поездка длится 5 минут или более, то её стоимость (в рублях) рассчитывается по формуле…

1. 1
   Поездка длится 12 минут, поэтому используем формулу стоимости для $t \ge 5$.$$C = 150 + 11(t - 5)$$
2. 2
   Подставим $t = 12$ и вычислим стоимость поездки.$$C = 150 + 11(12 - 5) = 150 + 77 = 227$$

Расчёт количества бензина

На автозаправке водитель отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 53 рубля за литр. Водитель получил 152 рубля сдачи. Сколько литров бензина было залито в бак?

1. 1
   Найдём стоимость залитого бензина:$$1000 - 152 = 848\text{ руб.}$$
2. 2
   Разделим стоимость бензина на цену одного литра:$$848 : 53 = 16\text{ л}$$

Стоимость бутылки кваса

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   Найдём стоимость 1 литра кваса без учёта стоимости бутылки. При увеличении объёма с 1 до 2 литров цена возрастает на:$$72 - 42 = 30$$
2. 2
   Значит, 1 литр кваса стоит 30 рублей. В бутылке объёмом 1,5 литра дополнительно содержится 0,5 литра кваса по сравнению с бутылкой объёмом 1 литр.$$0{,}5 \cdot 30 = 15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Совместная работа мастеров

Один мастер может выполнить некоторый заказ за 36 часов, а другой выполняет этот же заказ за 18 часов. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

1. 1
   Первый мастер выполняет за один час $\dfrac{1}{36}$ заказа, второй — $\dfrac{1}{18}$ заказа.$$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{36} + \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{12}$$
2. 2
   Значит, вместе мастера выполняют $\dfrac{1}{12}$ заказа за час, поэтому весь заказ они выполнят за 12 часов.$$t = \dfrac{1}{\frac{1}{12}} = 12$$

Стоимость поездки на такси

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси длительностью меньше 5 минут составляет 150 рублей. Если поездка длится 5 минут или дольше, то её стоимость (в рублях) рассчитывается по формуле…

1. 1
   Поездка длится 16 минут, поэтому используем формулу стоимости для $t \ge 5$.$$C = 150 + 11(t - 5)$$
2. 2
   Подставим $t = 16$ и вычислим стоимость поездки.$$C = 150 + 11(16 - 5) = 150 + 11 \cdot 11 = 271$$

Средняя скорость бегуна

Бегун пробежал 250 метров за 25 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

1. 1
   Найдём скорость бегуна в метрах в секунду:$$v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{250}{25} = 10\ \text{м/с}$$
2. 2
   Переведём скорость в километры в час: $1$ м/с соответствует $3{,}6$ км/ч.$$10 \cdot 3{,}6 = 36\ \text{км/ч}$$

Расстояние по числу шагов

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число шагов, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если $l = 70$…

1. 1
   По формуле расстояния умножаем число шагов на длину одного шага:$$s = nl = 1500 \cdot 70 = 105000\ \text{см}$$
2. 2
   Переводим сантиметры в метры: 100 см = 1 м.$$105000 : 100 = 1050\ \text{м}$$

Минимальная температура по графику

На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указаны номера месяцев, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для…

1. 1
   Сравниваем высоты точек, соответствующих всем месяцам.
2. 2
   Самая низкая точка графика соответствует второму месяцу.

Минимальная цена палладия

На рисунке жирными точками показана цена палладия, установленная Центробанком РФ на все рабочие дни в октябре 2010 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали — цена палладия в рублях за…

1. 1
   По графику находим точку с наименьшей высотой, то есть с минимальной ценой палладия.
2. 2
   Самая низкая жирная точка соответствует цене 552 рубля за грамм и расположена над числом 11.

Минимальная температура осенью

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Петрозаводске за каждый месяц 1976 года. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по…

1. 1
   Вторая половина года включает июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь и декабрь.
2. 2
   По диаграмме температуры в эти месяцы равны соответственно $12$, $11$, $7$, $0$, $-3$ и $-5\,^{\circ}\mathrm{C}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшая цена платины

На рисунке жирными точками показана цена платины, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2010 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали — цена платины (в рублях) за…

1. 1
   Рассматриваем на графике только жирные точки, соответствующие рабочим дням с 7 по 19 октября включительно.
2. 2
   Наибольшая из этих точек находится 15 октября и соответствует значению 1650 рублей за грамм.$$1650$$

Минимальная цена золота

На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 3 по 24 октября 2002 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали — цена золота в…

1. 1
   Рассматриваем все жирные точки, соответствующие рабочим дням с 3 по 24 октября.
2. 2
   Самая нижняя точка графика расположена около 21 октября и соответствует значению 311 долларов США за унцию.$$p_{\min}=311$$