Объём конуса равен $49\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$49\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 9 и 3. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Составим отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{4\pi\cdot 9^2}{4\pi\cdot 3^2} = \left(\dfrac{9}{3}\right)^2 = 9$$
Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату его радиуса.$$S = 4\pi R^2$$
- 2
Найдём отношение площадей шаров с радиусами 5 и 1.$$\dfrac{S_\text{б}}{S_\text{м}} = \dfrac{4\pi\cdot 5^2}{4\pi\cdot 1^2} = 25$$
Даны два шара с радиусами 4 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Отношение площади большего шара к площади меньшего равно квадрату отношения их радиусов:$$\frac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}} = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = 4$$
Объём конуса равен 135. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному. Высота отсечённого конуса составляет одну треть высоты исходного конуса.$$k=\dfrac{h_1}{h}=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$V_1=V\cdot k^3=135\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=5$$
Длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 12. На рёбрах $AB$ и $BC$ отмечены соответственно точки $K$ и $P$ — их середины. Найдите объём пирамиды $B_1BKP$.
- 1
Так как $K$ и $P$ — середины рёбер куба, получаем $BK=BP=\dfrac{12}{2}=6$. Рёбра $AB$ и $BC$ перпендикулярны, поэтому треугольник $BKP$ прямоугольный.$$S_{BKP}=\dfrac{1}{2}\cdot BK\cdot BP=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot6=18$$
- 2
Высота пирамиды $B_1BKP$ равна расстоянию от точки $B_1$ до плоскости основания $BKP$, то есть ребру куба $B_1B=12$.$$h=12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Найдём отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi \cdot 3^2}{4\pi \cdot 1^2} = \frac{9}{1} = 9$$
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 7 и 2, а объём параллелепипеда равен 112. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$7 \cdot 2 \cdot c = 112$$
- 2
Находим длину третьего ребра:$$c = \frac{112}{7 \cdot 2} = 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 6, а второго — 3 и 4. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа $\pi$, радиуса основания и образующей.$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Найдём отношение площади боковой поверхности первого конуса к площади боковой поверхности второго.$$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{\pi \cdot 5 \cdot 6}{\pi \cdot 3 \cdot 4} = \dfrac{30}{12} = 2{,}5$$
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 6 и 14, а второго — 7 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$
- 2
Запишем отношение площадей боковых поверхностей двух цилиндров:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi r_1h_1}{2\pi r_2h_2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус основания цилиндра равен 10, а его образующая равна 19. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 6. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра:$$h=19$$
- 2
Ширина прямоугольника равна длине хорды основания. Половина хорды, радиус и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник:$$\frac{a}{2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 4$, $AC = 12$ и $AD = 1$.
- 1
Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения длин этих рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
- 2
Подставим значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 4 \cdot 12 \cdot 1 = 8$$
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $2$, а высота пирамиды равна $9\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $2$. Его площадь равна$$S_{осн} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$
- 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V = \frac{1}{3}S_{осн}h = \frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot 9\sqrt{3} = 9$$
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 3 и 2, а второго — 8 и 9. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого цилиндра?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Составим отношение объёма второго цилиндра к объёму первого:$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi \cdot 8^2 \cdot 9}{\pi \cdot 3^2 \cdot 2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $24\pi$, а радиус его основания равен $2$. Найдите длину высоты этого конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \frac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и радиуса:$$24\pi = \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 9, а второго — 2 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Для обоих конусов радиус основания и образующая имеют одинаковые значения: $r_1 = r_2 = 2$, $l_1 = l_2 = 9$.$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi r_2 l_2}{\pi r_1 l_1} = \frac{\pi \cdot 2 \cdot 9}{\pi \cdot 2 \cdot 9} = 1$$
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна $4\sqrt{2}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{32-16}=4$$
- 2
Вычислим площадь основания призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot4=8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 12 и 5, а объём параллелепипеда равен 540. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{540}{12 \cdot 5} = 9$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $16\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$16\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 10, а боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 13, 13 и 10. Высота этой грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$$
- 2
Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$$
Ещё 1 шаг — в полном решении