Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 5 и 6.
- 1
Подставим значения рёбер $a = 3$, $b = 5$, $c = 6$ в формулу площади поверхности.$$S = 2(3 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + 5 \cdot 6)$$
- 2
Вычислим сумму произведений и умножим её на 2.$$S = 2(15 + 18 + 30) = 2 \cdot 63 = 126$$
Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего шара?
- 1
Объём шара вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Найдём, во сколько раз объём шара радиуса 4 больше объёма шара радиуса 1:$$\dfrac{V_{4}}{V_{1}} = \left(\dfrac{4}{1}\right)^3 = 4^3 = 64$$
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $2$, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $2$. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$
Ящик, имеющий форму куба с ребром 30 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
- 1
У куба алты граней. Так как одна грань отсутствует, покрасить нужно пять граней.
- 2
Площадь одной грани куба со стороной 30 см:$$S_1 = 30^2 = 900\ \text{см}^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4 и 2, а объём параллелепипеда равен 56. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \frac{56}{4 \cdot 2} = 7$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 3, а второго — 3 и 6. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго цилиндра?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Найдём отношение объёмов первого и второго цилиндров:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 9^2 \cdot 3}{\pi \cdot 3^2 \cdot 6}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Радиус основания цилиндра равен 20, а его образующая равна 8. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра: $8$.
- 2
Ширина прямоугольника равна длине хорды основания, находящейся на расстоянии $12$ от центра окружности радиуса $20$.$$2\sqrt{20^2-12^2}=2\sqrt{400-144}=2\cdot16=32$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Найдём отношение объёма второго цилиндра к объёму первого:$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 4}{\pi \cdot 2^2 \cdot 6}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 4 и 9, а второго — 6 и 8. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого конуса?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Составим отношение объёма второго конуса к объёму первого. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сократится:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $2$. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
- 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}=3$$
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 5, а второго — 3 и 2. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Найдём, во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{6^2 \cdot 5}{3^2 \cdot 2} = \dfrac{36 \cdot 5}{9 \cdot 2} = 10$$
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $3$, $7$ и $3\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
На боковой грани $BCC_1B_1$ диагональ $BC_1$ и рёбра $BC$, $BB_1$ образуют прямоугольный треугольник.$$BB_1^2+BC^2=BC_1^2$$
- 2
Найдём высоту параллелепипеда:$$BB_1=\sqrt{(3\sqrt{5})^2-3^2}=\sqrt{45-9}=6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 7. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 20. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть 7.
- 2
Половина ширины сечения, радиус основания и расстояние от оси до сечения образуют прямоугольный треугольник:$$x=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 7 и 9, а второго — 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Составим отношение площади боковой поверхности первого конуса к площади боковой поверхности второго:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 7 \cdot 9}{\pi \cdot 2 \cdot 3}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 27,5 см. Найдите…
- 1
Переведём длины в сантиметры: сторона основания исходной пирамиды равна $220\text{ м}=22000\text{ см}$, её высота — $104\text{ м}=10400\text{ см}$.$$220\text{ м}=22000\text{ см},\quad 104\text{ м}=10400\text{ см}$$
- 2
Коэффициент подобия музейной копии и исходной пирамиды равен отношению соответствующих сторон основания.$$k=\frac{27{,}5}{22000}=\frac{1}{800}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Радиус основания цилиндра равен 17, а его образующая равна 5. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 8. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть 5.
- 2
Ширина прямоугольника — хорда основания цилиндра. Расстояние от центра основания до хорды равно 8.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Объём конуса равен $75\pi$, а его высота равна 9. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Используем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$75\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 9 = 3\pi r^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Объём конуса равен $250$. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:4$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k=\frac{h_\text{мал}}{h}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\frac{V_\text{мал}}{250}=k^3=\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1}{125}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Объём конуса равен $6\pi$, а радиус его основания равен $1$. Найдите высоту конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и радиуса:$$6\pi = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot h$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $2$, а высота этой призмы равна $5\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $2$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V = S_{\text{осн}}h = \sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3} = 15$$