Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 2, а второго — 6 и 7. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого конуса?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Так как радиусы оснований конусов одинаковы, множители $\dfrac{1}{3}\pi r^2$ сокращаются при делении объёмов.$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{h_2}{h_1}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 12 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
- 1
Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Находим отношение объёмов шаров:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{12}{4}\right)^3 = 3^3 = 27$$
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 3$, $AC = 12$ и $AD = 7$.
- 1
Три ребра пирамиды, выходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны. Поэтому объём пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
- 2
Подставим известные длины рёбер и вычислим объём.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 12 \cdot 7 = 42$$
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 3$, $AC = 14$ и $AD = 8$.
- 1
Три ребра, исходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны. Поэтому объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD$$
- 2
Подставим данные из условия:$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 14 \cdot 8 = 56$$
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 7. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Отношение объёма второго цилиндра к объёму первого равно:$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 7}{\pi \cdot 2^2 \cdot 6}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен 81. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Его высота составляет одну треть высоты исходного конуса.$$k = \frac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$V_\text{мал} = V_\text{больш} \cdot k^3 = 81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником со сторонами 10, 10 и основанием 16. Высота этой грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$$
- 2
Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 2 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
- 1
Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Найдём отношение объёмов шаров:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{2}{1}\right)^3 = 8$$
Даны два шара с радиусами 6 и 3. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего шара?
- 1
Площадь поверхности шара определяется формулой:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Отношение площадей равно квадрату отношения радиусов:$$\dfrac{S_1}{S_2} = \left(\dfrac{6}{3}\right)^2 = 2^2 = 4$$
Объём конуса равен $64\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$64\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 15. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 75.
- 1
Найдём площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 3 \cdot 15 = 45$$
- 2
Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h, \quad h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна $\sqrt{65}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b = \sqrt{(\sqrt{65})^2 - 4^2} = \sqrt{65 - 16} = 7$$
- 2
Найдём площадь прямоугольного треугольника — основания призмы:$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $9\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты.$$9\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $84\pi$, а его высота равна $7$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$84\pi=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot7$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 2, а второго — 4 и 9. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Найдём, во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого. Общие множители $\dfrac{1}{3}\pi$ сократятся:$$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $CD$, $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно 4, 3 и $4\sqrt{2}$. Найдите объём параллелепипеда.
- 1
Рассмотрим прямоугольную грань $CDD_1C_1$. По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$DD_1 = \sqrt{CD_1^2 - CD^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 4^2} = \sqrt{32 - 16} = 4$$
- 2
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = CD \cdot CB \cdot DD_1 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48$$
Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 10,5 см…
- 1
Переведём сторону основания оригинала и его высоту в сантиметры: $210\text{ м}=21000\text{ см}$, $136\text{ м}=13600\text{ см}$.$$210\text{ м}=21000\text{ см},\quad 136\text{ м}=13600\text{ см}$$
- 2
Найдём коэффициент подобия копии и оригинала по сторонам основания.$$k=\dfrac{10{,}5}{21000}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $15\pi$, а его высота равна $5$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты.$$15\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 3, а второго — 3 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа $\pi$, радиуса основания и образующей.$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Составим отношение площади боковой поверхности второго конуса к площади первого.$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 3 \cdot 6}{\pi \cdot 2 \cdot 3} = 3$$
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна $3\sqrt{5}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 5.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b^2 + 3^2 = (3\sqrt{5})^2$$
- 2
Вычислим длину второго катета:$$b^2 = 45 - 9 = 36,\quad b = 6$$
Ещё 2 шага — в полном решении