Задание 13 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Высота музейной копии

Пирамида Снофру имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 55 см. Найдите…

1. 1
   Переведём размеры исходной пирамиды в сантиметры:$$220\ \text{м}=22000\ \text{см},\quad 104\ \text{м}=10400\ \text{см}$$
2. 2
   Копия подобна исходной пирамиде, поэтому коэффициент уменьшения можно найти по сторонам основания:$$k=\dfrac{55}{22000}=\dfrac{1}{400}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение объёмов конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 9, а второго — 2 и 2. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго конуса?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Запишем отношение объёмов первого и второго конусов:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi r_1^2h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2h_2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 108. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Из отношения $1:2$, считая от вершины, следует, что высота отсечённого конуса составляет $\dfrac{1}{3}$ высоты исходного.$$k = \dfrac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$V_{\text{отр}} = 108 \cdot k^3 = 108 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = 4$$

Отношение объёмов шаров

Даны два шара с радиусами 6 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём шара радиуса 6 больше объёма шара радиуса 1:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{6}{1}\right)^3 = 216$$

Точка смены цвета конуса

Для печати на 3D-принтере двухцветного конуса используются три параметра: радиус основания, угол наклона образующей к основанию и точка смены цвета на образующей. В программу введены: радиус $3$ см…

1. 1
   Рассмотрим осевое сечение конуса. Образующая $l$, радиус основания $r=3$ см и угол $60^\circ$ образуют прямоугольный треугольник.$$\cos 60^\circ = \frac{r}{l}$$
2. 2
   Найдём длину образующей.$$l=\frac{3}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{0{,}5}=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 5, 6 и 8.

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 8 + 6 \cdot 8)$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$S = 2(30 + 40 + 48) = 2 \cdot 118 = 236$$

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 9. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть 14.$$h=14$$
2. 2
   Ширина прямоугольника равна длине хорды основания, находящейся на расстоянии 9 от центра окружности радиуса 15.$$\frac{a}{2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём двух шаров

Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Находим отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_\text{б}}{V_\text{м}} = \left(\dfrac{8}{4}\right)^3 = 2^3 = 8$$

Объём отсечённого конуса

Объём данного конуса равен 320. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:3$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного…

1. 1
   Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Точка делит высоту в отношении $1:3$ от вершины, значит высота отсечённого конуса составляет $\frac{1}{4}$ высоты исходного.$$k=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$V_{\text{мал}}=320\cdot k^3=320\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^3=5$$

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 8. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

1. 1
   Плоскость проходит через середину высоты и параллельна основанию, поэтому отсечённый у вершины конус подобен исходному.
2. 2
   Коэффициент подобия равен отношению высот: $k = \dfrac{1}{2}$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату его радиуса.$$S = 4\pi R^2$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего.$$\dfrac{S_\text{б}}{S_\text{м}} = \dfrac{4\pi\cdot 8^2}{4\pi\cdot 4^2} = \left(\dfrac{8}{4}\right)^2 = 4$$

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 5$, $AC = 14$ и $AD = 3$.

1. 1
   Выберем треугольник $ABC$ в качестве основания. Так как $AB \perp AC$, его площадь равна:$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 14 = 35$$
2. 2
   Ребро $AD$ перпендикулярно рёбрам $AB$ и $AC$, поэтому оно является высотой пирамиды.$$h = AD = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота четырёхугольной пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 и 5. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 60.

1. 1
   Найдём площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 12 \cdot 5 = 60$$
2. 2
   Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 8, а боковые рёбра равны 5. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником со сторонами 5, 5 и 8. Высота этой грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$$
2. 2
   Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 5, 6 и…

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 20 + 6 \cdot 20)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений:$$S = 2(30 + 100 + 120) = 2 \cdot 250 = 500$$

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату радиуса.$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Составим отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\dfrac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}} = \dfrac{4\pi\cdot 6^2}{4\pi\cdot 2^2} = \left(\dfrac{6}{2}\right)^2 = 9$$

Площадь боковой поверхности пирамиды

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 22, боковое ребро равно 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников с боковыми сторонами 61 и основанием 22.$$n = 6$$
2. 2
   Высота бокового треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора найдём эту высоту:$$h = \sqrt{61^2 - 11^2} = \sqrt{3721 - 121} = \sqrt{3600} = 60$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $CD$, $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $2$, $4$ и $2\sqrt{10}$. Найдите объём параллелепипеда.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольную грань $CDD_1C_1$. По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$DD_1 = \sqrt{CD_1^2 - CD^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 2^2} = \sqrt{40 - 4} = 6$$
2. 2
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = CD \cdot CB \cdot DD_1 = 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$$

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Точка делит высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, поэтому высота отсечённого конуса составляет одну треть высоты исходного конуса.$$\frac{h}{H}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$$
2. 2
   Отсечённый конус подобен исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{3}$. Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_1}{V}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $48\pi$, а его высота равна $9$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты.$$48\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 9 = 3\pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении