Задание 13 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 4 и…

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 10)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений:$$S = 2(12 + 30 + 40) = 2 \cdot 82 = 164$$

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 4, 5 и…

1. 1
   Подставим значения рёбер $a = 4$, $b = 5$, $c = 30$ в формулу.$$S = 2(4 \cdot 5 + 4 \cdot 30 + 5 \cdot 30)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений и умножим её на 2.$$S = 2(20 + 120 + 150) = 2 \cdot 290 = 580$$

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $2\sqrt{5}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$$
2. 2
   Вычислим площадь основания призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $2$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Высота пирамиды равна боковому ребру $SA$, так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания:$$h=SA=\sqrt{3}$$
2. 2
   Площадь основания — площадь правильного треугольника со стороной $2$:$$S_{\text{осн}}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение объёмов конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 4, а второго — 3 и 4. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёмов двух конусов. Высоты и общий множитель сокращаются:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi\cdot 6^2\cdot 4}{\frac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot 4} = \dfrac{36}{9} = 4$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$, где $a$, $b$ и $c$ — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $a$, если $V = 70$…

1. 1
   Из формулы $V = abc$ выразим длину ребра $a$:$$a = \dfrac{V}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a = \dfrac{70}{5 \cdot 3{,}5} = \dfrac{70}{17{,}5} = 4$$

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 8 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Отношение площадей равно квадрату отношения радиусов:$$\dfrac{S_\text{больш}}{S_\text{меньш}} = \left(\dfrac{8}{1}\right)^2 = 64$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и диагональ $AB_1$ боковой грани равны соответственно $6$, $4$ и $3\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$AA_1 = \sqrt{AB_1^2 - AB^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45 - 36} = 3$$
2. 2
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 72$$

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $25\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты.$$25\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности цилиндра

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 8, а второго — 12 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$
2. 2
   Найдём отношение площадей боковых поверхностей двух цилиндров.$$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{2\pi \cdot 9 \cdot 8}{2\pi \cdot 12 \cdot 3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота музейной копии

Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 21 см. Найдите…

1. 1
   Переведём сторону основания большой пирамиды из метров в сантиметры: $210\ \text{м}=21000\ \text{см}$.
2. 2
   Найдём коэффициент подобия копии и оригинала:$$k=\frac{21}{21000}=\frac{1}{1000}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота музейной копии

Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 42 см. Найдите…

1. 1
   Переведём сторону основания большой пирамиды в сантиметры: $210\ \text{м}=21000\ \text{см}$.
2. 2
   Найдём коэффициент подобия музейной копии и оригинала:$$k=\dfrac{42}{21000}=\dfrac{1}{500}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $4$, а высота этой призмы равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Площадь основания — площадь равностороннего треугольника со стороной $4$.$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V=S_{\text{осн}}h=4\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=36$$

Площадь боковой поверхности конусов

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 8 и 9, а второго — 2 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Найдём отношение площади боковой поверхности первого конуса к площади боковой поверхности второго:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 8 \cdot 9}{\pi \cdot 2 \cdot 8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота конуса по объёму

Объём конуса равен $16\pi$, а радиус его основания равен $2$. Найдите длину высоты этого конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и радиуса:$$16\pi=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 2^2\cdot h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота музейной копии

Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 52,5 см…

1. 1
   Переведём длины большой пирамиды в сантиметры: $210\ м = 21000\ см$, $136\ м = 13600\ см$.$$210\cdot 100=21000,\quad 136\cdot 100=13600$$
2. 2
   Найдём коэффициент подобия копии и исходной пирамиды.$$k=\frac{52{,}5}{21000}=\frac{1}{400}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 4 и 9.

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 9 + 4 \cdot 9)$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$S = 2(12 + 27 + 36) = 2 \cdot 75 = 150$$

Отношение объёмов шаров

Даны два шара с радиусами 7 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Найдём отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_{б}}{V_{м}} = \left(\dfrac{7}{1}\right)^3 = 343$$

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 3 и 6, а второго — 4 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площади второго конуса к площади первого:$$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{\pi \cdot 4 \cdot 9}{\pi \cdot 3 \cdot 6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности цилиндра

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго — 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$
2. 2
   Найдём отношение площади боковой поверхности первого цилиндра к площади боковой поверхности второго:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi r_1h_1}{2\pi r_2h_2} = \frac{4\cdot18}{2\cdot3} = 12$$