Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна $5\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Площадь основания — площадь равностороннего треугольника со стороной 6:$$S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$
- 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}}h = \frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3} = 45$$
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равна $6$, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABC A_1B_1C_1$.
- 1
Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $6$. Его площадь равна$$S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V = S_{осн}h = 9\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 27$$
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Боковая поверхность состоит из трёх одинаковых равнобедренных треугольников с боковыми сторонами 17 и основанием 16.
- 2
Высота каждого бокового треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора найдём высоту:$$h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 6$, $AC = 18$ и $AD = 8$.
- 1
Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём пирамиды равен одной шестой произведения длин этих рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
- 2
Подставим данные из условия.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 6 \cdot 18 \cdot 8 = 144$$
Объём конуса равен $25\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса:$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$25\pi=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot3=\pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $6$, $5$ и $2\sqrt{10}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольную боковую грань $DAA_1D_1$. По теореме Пифагора найдём ребро $AA_1$:$$AA_1^2 = DA_1^2 - DA^2 = (2\sqrt{10})^2 - 6^2 = 40 - 36 = 4$$
- 2
Следовательно, $AA_1 = 2$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $2$, $5$ и $\sqrt{29}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $DAA_1$ диагональ боковой грани $DA_1$ является гипотенузой.$$DD_1=\sqrt{DA_1^2-DA^2}=\sqrt{29-2^2}=\sqrt{25}=5$$
- 2
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.$$V=DA\cdot DC\cdot DD_1=2\cdot5\cdot5=50$$
Объём конуса равен $162\pi$, а его высота равна $6$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$162\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $98\pi$, а его высота равна $6$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$98\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 10 и 3. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 40.
- 1
Найдём площадь основания пирамиды — прямоугольника со сторонами 10 и 3:$$S_{\text{осн}} = 10 \cdot 3 = 30$$
- 2
Объём пирамиды выражается формулой:$$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 6, а второго — 2 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Составим отношение площадей первого и второго конусов:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 6}{\pi \cdot 2 \cdot 8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 8$, $AC = 12$ и $AD = 5$.
- 1
Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
- 2
Подставим известные значения.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 8 \cdot 12 \cdot 5 = 80$$
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 20, а боковые рёбра равны 26. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Боковая поверхность состоит из трёх равных боковых граней. Каждая грань является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами 26 и основанием 20.
- 2
Высота боковой грани делит её основание пополам. По теореме Пифагора:$$h=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=24$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна $\sqrt{41}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 6.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b=\sqrt{(\sqrt{41})^2-4^2}=\sqrt{41-16}=5$$
- 2
Площадь основания призмы равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5=10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен 375. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает конус, подобный исходному.
- 2
Поскольку точка делит высоту в отношении $1:4$, высота отсечённого конуса составляет $\dfrac{1}{1+4}=\dfrac{1}{5}$ высоты исходного конуса.$$k=\frac{1}{5}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 9 и 4, а второго — 6 и 6. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Составим отношение объёма первого конуса к объёму второго. Общие множители сокращаются:$$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\frac{1}{3}\pi\cdot9^2\cdot4}{\frac{1}{3}\pi\cdot6^2\cdot6}=\dfrac{81\cdot4}{36\cdot6}=\dfrac{324}{216}=1{,}5$$
Объём конуса равен $1125$. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:4$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Точка делит высоту в отношении $1:4$ от вершины, поэтому высота отсечённого конуса составляет $\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$ высоты исходного конуса.$$k=\frac{1}{5}$$
- 2
Отсечённый конус подобен исходному, поэтому его объём относится к объёму исходного как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{мал}}}{1125}=\left(\frac{1}{5}\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен 64. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Точка делит высоту от вершины в отношении $1:3$, поэтому высота отсечённого конуса составляет четверть высоты исходного конуса.$$k=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$
- 2
Отсечённый конус подобен исходному. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_1}{V}=k^3=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 8 и 7, а второго — 4 и 7. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго конуса?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Составим отношение объёмов двух конусов:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi r_1^2h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2h_2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2, 7 и…
- 1
Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(2 \cdot 7 + 2 \cdot 10 + 7 \cdot 10)$$
- 2
Выполним вычисления:$$S = 2(14 + 20 + 70) = 2 \cdot 104 = 208$$