Задание 13 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \frac{280}{8 \cdot 5} = 7$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $CD$, $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $5$ и $\sqrt{29}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDD_1$ на боковой грани параллелепипеда.$$CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2$$
2. 2
   Найдём высоту параллелепипеда:$$DD_1 = \sqrt{CD_1^2 - CD^2} = \sqrt{29 - 25} = 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение объёмов конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 4, а второго — 4 и 6. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

1. 1
   Объём конуса определяется формулой:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёма первого конуса к объёму второго:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 4}{\frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка смены цвета конуса

Для печати на $3D$-принтере двухцветного конуса используются три параметра: радиус основания, угол наклона образующей к основанию и точка смены цвета на образующей. В программу введены: радиус $4$…

1. 1
   Радиус основания равен проекции образующей на плоскость основания.$$r=l\cos 60^\circ$$
2. 2
   Найдём длину образующей конуса.$$l=\frac{4}{\cos 60^\circ}=\frac{4}{1/2}=8\text{ см}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $4$, а высота этой призмы равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $4$. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту призмы:$$V=S_{\text{осн}}h=4\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}=16\cdot3=48$$

Объём двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 4, а второго — 6 и 6. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого конуса?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёма второго конуса к объёму первого:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{6^2 \cdot 6}{3^2 \cdot 4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы двух шаров

Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём большего шара превышает объём меньшего:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{6}{2}\right)^3 = 3^3 = 27$$

Объём шаров по радиусам

Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Находим отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_{\text{б}}}{V_{\text{м}}} = \left(\dfrac{3}{1}\right)^3 = 27$$

Высота четырёхугольной пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 и 8. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 80.

1. 1
   Найдём площадь прямоугольника, являющегося основанием пирамиды:$$S_{\text{осн}} = 6 \cdot 8 = 48$$
2. 2
   Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h,\quad h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 6 и 9, а второго — 9 и 2. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго цилиндра?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Запишем отношение объёма первого цилиндра к объёму второго:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 9}{\pi \cdot 9^2 \cdot 2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 5 и 9.

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(3 \cdot 5 + 3 \cdot 9 + 5 \cdot 9)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений:$$S = 2(15 + 27 + 45) = 2 \cdot 87 = 174$$