Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 8 и 9, а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Составим отношение объёмов двух конусов. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сократится:$$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{8^2\cdot9}{6^2\cdot4}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Объём конуса равен 500. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…
- 1
Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному. Точка находится на расстоянии $\frac{1}{5}$ высоты от вершины, так как высота разделена в отношении $1:4$.$$k = \frac{1}{5}$$
- 2
Объём подобных тел относится как кубы коэффициента подобия.$$V_\text{мал} = V_\text{исх} \cdot k^3 = 500 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{500}{125} = 4$$
Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая равна 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра:$$h=18$$
- 2
Ширина прямоугольника равна длине хорды основания. Половина хорды, радиус и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник:$$\frac{a}{2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 5, а второго — 5 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Составим отношение площади второго конуса к площади первого:$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 6}{\pi \cdot 2 \cdot 5}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами длиной $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами…
- 1
Подставим значения рёбер $a = 2$, $b = 5$, $c = 6$ в формулу площади поверхности.$$S = 2(2 \cdot 5 + 2 \cdot 6 + 5 \cdot 6)$$
- 2
Вычислим сумму произведений и умножим её на 2.$$S = 2(10 + 12 + 30) = 2 \cdot 52 = 104$$
Объём данного конуса равен 256. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:3$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного…
- 1
Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный данному. Точка делит высоту в отношении $1:3$ от вершины, поэтому высота отсечённого конуса составляет четверть высоты исходного.$$k=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$V_{\text{мал}}=V_{\text{больш}}k^3=256\left(\frac{1}{4}\right)^3=4$$
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2, 5 и 7.
- 1
Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(2 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 5 \cdot 7)$$
- 2
Вычислим сумму произведений:$$S = 2(10 + 14 + 35) = 2 \cdot 59 = 118$$
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 2, а второго — 2 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго конуса?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Составим отношение объёмов первого и второго конусов. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сократится:$$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{r_1^2h_1}{r_2^2h_2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $2$, а высота этой призмы равна $2\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Основанием призмы является равносторонний треугольник со стороной $2$. Его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=6$$
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 и 5. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 60.
- 1
Вычислим площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 12 \cdot 5 = 60$$
- 2
Используем формулу объёма пирамиды и найдём высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h,\quad 60 = \dfrac{1}{3} \cdot 60 \cdot h$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 7 и 3. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 42.
- 1
Вычислим площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 7 \cdot 3 = 21$$
- 2
Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h,\quad h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 6. На рёбрах $AB$ и $BC$ отмечены точки $K$ и $P$ — середины рёбер соответственно. Найдите объём пирамиды $B_1BKP$.
- 1
Так как точки $K$ и $P$ — середины рёбер $AB$ и $BC$, а ребро куба равно 6, получаем:$$BK = BP = \frac{6}{2} = 3$$
- 2
Треугольник $BKP$ прямоугольный, поэтому его площадь равна:$$S_{BKP} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot BP = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $6$ и $\sqrt{29}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольную боковую грань $ADD_1A_1$. По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$AA_1^2 = DA_1^2 - DA^2 = (\sqrt{29})^2 - 5^2 = 29 - 25 = 4$$
- 2
Следовательно, длина ребра $AA_1$ равна:$$AA_1 = 2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 6, а гипотенуза равна $6\sqrt{2}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 2.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника.$$b=\sqrt{(6\sqrt{2})^2-6^2}=\sqrt{72-36}=6$$
- 2
Площадь основания призмы равна площади прямоугольного треугольника.$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6=18$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 6, а второго — 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Найдём отношение площадей боковых поверхностей двух конусов:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 6}{\pi \cdot 2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$$
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 2, а объём параллелепипеда равен 100. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{V}{ab} = \dfrac{100}{10 \cdot 2} = 5$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(ab + ac + bc) = 2(10 \cdot 2 + 10 \cdot 5 + 2 \cdot 5) = 160$$
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 24, боковое ребро равно 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников. Высота каждого треугольника делит его основание пополам.$$h = \sqrt{37^2 - 12^2}$$
- 2
Вычислим высоту боковой грани:$$h = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 19. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 9. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть 19.
- 2
Ширина прямоугольника равна длине хорды основания, находящейся на расстоянии 9 от центра окружности радиуса 15.$$l=2\sqrt{15^2-9^2}=2\sqrt{225-81}=24$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна $2\sqrt{13}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 2.
- 1
Обозначим второй катет основания через $b$. По теореме Пифагора:$$b^2=(2\sqrt{13})^2-4^2=52-16=36$$
- 2
Следовательно, второй катет равен 6, а площадь прямоугольного треугольника:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot6=12$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 4, 5 и 7.
- 1
Подставим значения рёбер $a = 4$, $b = 5$, $c = 7$ в формулу площади поверхности.$$S = 2(4 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 7)$$
- 2
Вычислим сумму произведений и умножим её на 2.$$S = 2(20 + 28 + 35) = 2 \cdot 83 = 166$$